Matrix in Exponentialfunktion < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Di 02.01.2007 | | Autor: | verwirrt |
| Aufgabe | | Für die Pauli Matrix Ò1 = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] ist zu zeigen, dass exp (i [mm] \partial [/mm] Ò1) = [mm] \pmat{ cos \partial & i sin \partial \\ i sin \partial & cos \partial} [/mm] |
Mir ist nicht ganz klar, wie es zu diesem Ergebnis kommt. Mit der Euler'schen Formel erhalte ich nicht dasselbe. Könnte mir jemand dieses Beispiel erklären?
Vielen Dank schon im Vorraus!
Verwirrt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 02.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo verwirrt
Ich schreibe das ganze mal in verständlicherer Schreibweise.
Sei A die Paulimatrix, dann ist
[mm] $\exp(itA)=Id+\frac{itA}{1}+\frac{i^2t^2A^2}{2!}+\frac{i^3t^3A^3}{3!}+\dots$ [/mm] zu verstehen (Id ist die Einheitsmatrix). Eine Reihe von Matrizen, die konvergiert, wenn jede Komponente konvergiert.
Wegen [mm] $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1,\ i^5=i,\ i^6=-1,\dots$ [/mm] und wegen
[mm] $A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 },\ A^2=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\ A^3=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 },\ A^4=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\dots [/mm] $
erhält man daher
[mm]\exp(itA)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 0 & it \\ it & 0 }+\frac{1}{2!}\pmat{ -t^2 & 0 \\ 0 & -t^2 }+\frac{1}{3!}\pmat{ 0 & -it^3 \\ -it^3 & 0 }+\dots[/mm]
Für die linke obere und rechte untere Komponente der Matrix ergibt sich die Reihe
[mm] $1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\dots=\cos(t)$.
[/mm]
Für die rechte obere und die linke untere Kompnente der Matrix ergibt sich die Reihe
[mm] $it-\frac{it^3}{3!}+\frac{it^5}{5!}-\dots=i\sin(t)$.
[/mm]
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Di 02.01.2007 | | Autor: | verwirrt |
Hey! Den Gedanken mit der Reihenentwicklung hatte ich gleich wieder verworfen! Vielen Dank!! Und schönen Abend noch!
Verwirrt
|
|
|
|
