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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Di 20.05.2008 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | | Berechne exp(A,t): [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }. [/mm] |
Hallo,
ich habe mir folgende Gedanken gemacht: A ist gegeben, dann bestimme ich die Jordanform, so dass [mm] A=SJS^{-1}. [/mm] J = Diagonalmatrix, da alle EW verschieden also [mm] J=\pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & 1-i } [/mm] (über char. Polynom). nun berechne S. Das habe ich mit Hilfe von Matlab getan, weil ich absolut nicht weiß, wie ich dass berechnen soll. Raus kommt auf jeden Fall [mm] S=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}. [/mm] Daher auch meine erste Frage, wie kommt man auf S? Habe die EV zu den EW berechnet und komme auf [mm] \vektor{-i \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{i \\ 1} [/mm] was ja dem S nicht ganz unnahe ist, trotzdem weiß ich nicht wie das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] da in die Rechnung kommt.
[mm] exp(\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }*t)=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*exp(\pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & 1-i }*t)*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}
[/mm]
[mm] =\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*(exp\pmat{ t+it & 0 \\ 0 & t-it })*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}
[/mm]
[mm] =\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*(\pmat{ exp(t+it) & 0 \\ 0 & exp(t-it) })*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}
[/mm]
[mm] =\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*(\pmat{ exp(t)exp(it) & 0 \\ 0 & exp(t)exp(-it) })*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}
[/mm]
[mm] =exp(t)\pmat{ cos t + i sin t & sin t \\ -sin t & cos t - i sin t }
[/mm]
Kann es sein, dass es so ungefähr hinkommt? Ist das dann letzlich die Matrixexponentialfkt. oder muß man nochmehr zeigen/berechnen?
Besten Gruß
vicky
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Hi,
> Berechne exp(A,t): [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }.[/mm]
> Hallo,
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> ich habe mir folgende Gedanken gemacht: A ist gegeben, dann
> bestimme ich die Jordanform, so dass [mm]A=SJS^{-1}.[/mm] J =
> Diagonalmatrix, da alle EW verschieden also [mm]J=\pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & 1-i }[/mm]
> (über char. Polynom). nun berechne S. Das habe ich mit
> Hilfe von Matlab getan, weil ich absolut nicht weiß, wie
> ich dass berechnen soll.
Normalerweise stehen in der Matrix S einfach die Eigenvektoren (zumindest wenn die matrix diagonalisierbar ist).
> Raus kommt auf jeden Fall [mm]S=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} >\\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}.[/mm]
> Daher auch meine erste Frage, wie kommt man auf S? Habe die
> EV zu den EW berechnet und komme auf [mm]\vektor{-i \\ 1}[/mm] und
> [mm]\vektor{i \\ 1}[/mm] was ja dem S nicht ganz unnahe ist,
deine EVen sehen fuer mich richtig aus
> trotzdem weiß ich nicht wie das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] da in die
> Rechnung kommt.
>
ueber den faktor 1/2 wuerde ich mir keinen kopf machen, skalierung mit konstanten ist immer moeglich (wenn mich nicht alles taeuscht). warum die EVen von matlab quasi 'umgedreht' sind, verstehe ich allerdings auch nicht. schau noch mal nach, ob du alles korrekt gerechnet/eingegeben hast.
> [mm]exp(\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }*t)=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*exp(\pmat{ 1+i & 0 \\ 0 & 1-i }*t)*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*(exp\pmat{ t+it & 0 \\ 0 & t-it })*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*(\pmat{ exp(t+it) & 0 \\ 0 & exp(t-it) })*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}*(\pmat{ exp(t)exp(it) & 0 \\ 0 & exp(t)exp(-it) })*\pmat{ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2}i& -\bruch{1}{2}i}^{-1}[/mm]
>
> [mm]=exp(t)\pmat{ cos t + i sin t & sin t \\ -sin t & cos t - i sin t }[/mm]
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> Kann es sein, dass es so ungefähr hinkommt? Ist das dann
> letzlich die Matrixexponentialfkt. oder muß man nochmehr
> zeigen/berechnen?
deinen letzten schritt kann ich so mit blossem auge nicht 100% pruefen, sieht aber im prinzip richtig aus.
gruss
matthias
>
> Besten Gruß
> vicky
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