Matrixnorm Abschätzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Do 17.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | | Wenn [mm] \parallel Ax\parallel\ge{\lambda*\parallel x\parallel} [/mm] für alle x in [mm] \IC^n [/mm] mit [mm] \lambda>0 [/mm] und beliebiger Vektornorm, dann existiert [mm] A^{-1} [/mm] und es gilt [mm] \parallel A^{-1}\parallel\le{\lambda^{-1}} [/mm] für die zur Vektornorm gehörige Matrixnorm |
Das diese Äquivalenz gelten muss ist einleuchtend, ich bekomme es aber nicht zusammen, sie zu beweisen. Vielleicht hat jemand einen Tipp von euch.
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> Wenn [mm]\parallel Ax\parallel\ge{\lambda*\parallel x\parallel}[/mm]
> für alle x in [mm]\IC^n[/mm] mit [mm]\lambda>0[/mm] und beliebiger
> Vektornorm, dann existiert [mm]A^{-1}[/mm] und es gilt [mm]\parallel A^{-1}\parallel\le{\lambda^{-1}}[/mm]
> für die zur Vektornorm gehörige Matrixnorm
> Das diese Äquivalenz gelten muss ist einleuchtend, ich
> bekomme es aber nicht zusammen, sie zu beweisen. Vielleicht
> hat jemand einen Tipp von euch.
Dass die Inverse existiert, folgt schon aus [mm] Ax\ne [/mm] 0 für alle [mm] x\ne [/mm] 0.
Für die Abschätzung setzt du y=Ax und [mm] x=A^{-1}y [/mm] und erhältst [mm] \lambda\|A^{-1}y\|\le\|y\| [/mm] für alle y
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:56 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
Danke für deine Hilfe.
Ich habe hier noch 2 andere Ungleichungen bei denen mir gerade nichts passendes einfällt
(1): [mm] \parallel A^{-1}\parallel_{\infty}\le{\bruch{1}{\min_{i}(|A_{ii}|-\summe_{k\not=i}^{}|A_{ik}|)}}
[/mm]
(2): [mm] \parallel A^{-1}\parallel_{1}\le{\bruch{1}{\min_{k}(|A_{kk}|-\summe_{k\not=i}^{}|A_{ik}|)}}
[/mm]
Die Ausdrücke auf der rechten Seite sind positiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Lonpos |
Vielleicht gibt es eine Möglichkeit es mit
[mm] \parallel A^{\infty}\parallel_{\infty}=max\summe_{k=1}^{m}|A_{ik}|
[/mm]
und
[mm] \parallel A^{-1}\parallel_{1}=max\summe_{i=1}^{m}|A_{ik}|
[/mm]
zu zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 20.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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