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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 09.06.2015 | | Autor: | Neutron |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in K^{n,n} [/mm] und sei U [mm] \in K^{n,n} [/mm] eine zu A ähnliche orthogonale bzw. Untiere Matrix. Zeigen Sie:
(a) A ist invertierbar
(b) [mm] A^{-1} [/mm] ist ähnlich zu [mm] A^{H} [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe (a) hab ich schon gelöst ob wollte mal fragen ob die Lösung korrekt ist. Bei (b) fehlt mir etwas der Ansatz.
zu (a): Weil U orthogonal bzw. unitär ist, ist die det(U) = +/- 1. Weil U ähnlich zu A ist, gilt ebenfalls det(A) = +/- 1 und somit det(A) [mm] \not= [/mm] 0. Also ist A invertierter.
zu (b): Hier hab ich mir überlegt, dass weil U unitär und ähnlich zu A ist, ist auch A unitär. (Gilt das???) Daraus würde folgen, wegen [mm] A^{H} [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] (Eigenschaft Unitärer Matrizen) sind diese ja gleich. Und da gleiche Matrizen ähnlich sind, ist die Frage beantwortet.
Wie gesagt bei (b) weis ich nicht ob mein Ansatz richtig ist.
Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mi 10.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Sei A [mm]\in K^{n,n}[/mm] und sei U [mm]\in K^{n,n}[/mm] eine zu A ähnliche
> orthogonale bzw. Untiere Matrix. Zeigen Sie:
>
> (a) A ist invertierbar
>
> (b) [mm]A^{-1}[/mm] ist ähnlich zu [mm]A^{H}[/mm]
> Hallo,
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> die Aufgabe (a) hab ich schon gelöst ob wollte mal fragen
> ob die Lösung korrekt ist. Bei (b) fehlt mir etwas der
> Ansatz.
>
> zu (a): Weil U orthogonal bzw. unitär ist, ist die det(U)
> = +/- 1. Weil U ähnlich zu A ist, gilt ebenfalls det(A) =
> +/- 1 und somit det(A) [mm]\not=[/mm] 0. Also ist A invertierter.
In Ordnung.
>
> zu (b): Hier hab ich mir überlegt, dass weil U unitär und
> ähnlich zu A ist, ist auch A unitär. (Gilt das???)
So eine Frage kannst Du selbst versuchen zu beantworten, indem Du einen Beweis versuchst, bzw. einfach mal die Probe mit einem Zahlenbeispiel durchfuehrst.
> Daraus
> würde folgen, wegen [mm]A^{H}[/mm] = [mm]A^{-1}[/mm] (Eigenschaft Unitärer
> Matrizen) sind diese ja gleich. Und da gleiche Matrizen
> ähnlich sind, ist die Frage beantwortet.
Fuer mich legt die Fragestellung ein anderes Ergebnis nahe. Ein anderer Ansatz waere die Definitionsgleichung fuer $A$ aehnlich zu $U$ zu betrachten und dann [mm] $A^{H}$ [/mm] zu bilden. Vielleicht sieht man dann etwas...
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> Wie gesagt bei (b) weis ich nicht ob mein Ansatz richtig
> ist.
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> Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke!
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