Maximales Existenzintervall < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Do 21.07.2011 | | Autor: | pallago |
| Aufgabe | | $ x' = [mm] x^\alpha$ [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zum Existenzintervall obiger Aufgabe. Das ist Beispiel 2.5.5 aus dem Buch 'Gew DGL' von Aulbach. Die maximale Lösung ist angegeben, als
$ [mm] \lambda_\text{max} [/mm] = [ 1 + (1 - [mm] \alpha) [/mm] t [mm] ]^{\frac{1}{1-\alpha}}$ [/mm] für [mm] $\alpha \not{=} [/mm] 1$
[mm] $\lambda_\text{max} [/mm] (t) = [mm] e^t$ [/mm] für [mm] $\alpha=1$
[/mm]
Die Lösung auszurechnen, bereitet mir keine Probleme. Jedoch ist nun auch das von [mm] $\alpha$ [/mm] abhängige Existenzintervall angegeben.
[mm] $\begin{cases}
\left( \frac{1}{\alpha-1}, \infty \right) & \text{fuer} 0<\alpha <1 \\
\left( -\infty, \infty \right) & \text{fuer} \alpha =1 \\
\left( - \infty, \frac{1}{\alpha-1} \right) & \text{fuer} \alpha >1
\end{cases}$
[/mm]
Meine Frage ist wie man sich das überlegt. Es ist zwar eine Erklärung angegeben, aber aus dieser werde ich leider nicht schlau.
Desweiteren hatten wir ein Bsp,
[mm] $\lambda(t,t_0,x_0) [/mm] = [mm] \frac{1}{t \left( \frac{1 +x_0 t_o ln(t_0)}{x_0 t_0} - ln(t) \right) }$
[/mm]
Dafür gilt
$t [mm] \not{=} t_0 \exp( \frac{1}{x_0 t_0} [/mm] )$
Wie kommt man auf folgende Existenzintervalle ?
[mm] $\begin{cases}
\left( 0, t_0 \exp\left( \frac{1}{x_0 t_0} \right) \right) & \text{fuer} x_0 >0 \\
\left( t_0 \exp\left( \frac{1}{x_0 t_0} \right), \infty \right) & \text{fuer} x_0 <0 \\
\lambda(t) = 0 & fuer x_0 =0
\end{cases}$
[/mm]
Vor allem beim letzten Frage ich mich wie man darauf kommen soll, wenn [mm] $x_0 [/mm] = 0$, so folgt doch, dass [mm] $\exp [/mm] ( [mm] 1/x_0 t_0) [/mm] $ divergiert bzw. gar nicht definiert ist ?
Also den Satz über das Randverhalten kenne ich, u.a. ist die max. Lsg ja gegeben, wenn [mm] $\limsup_{t \to t_+} ||\lambda (t,x_0) [/mm] || = [mm] \infty$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 22.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm]x' = x^\alpha[/mm]
> Hallo,
> ich habe eine Frage zum Existenzintervall obiger Aufgabe.
> Das ist Beispiel 2.5.5 aus dem Buch 'Gew DGL' von Aulbach.
> Die maximale Lösung ist angegeben, als
> [mm]\lambda_\text{max} = [ 1 + (1 - \alpha) t ]^{\frac{1}{1-\alpha}}[/mm]
> für [mm]\alpha \not{=} 1[/mm]
> [mm]\lambda_\text{max} (t) = e^t[/mm] für
> [mm]\alpha=1[/mm]
> Die Lösung auszurechnen, bereitet mir keine Probleme.
> Jedoch ist nun auch das von [mm]\alpha[/mm] abhängige
> Existenzintervall angegeben.
> [mm]$\begin{cases}
\left( \frac{1}{\alpha-1}, \infty \right) & \text{fuer} 0<\alpha <1 \\
\left( -\infty, \infty \right) & \text{fuer} \alpha =1 \\
\left( - \infty, \frac{1}{\alpha-1} \right) & \text{fuer} \alpha >1
\end{cases}$[/mm]
>
> Meine Frage ist wie man sich das überlegt. Es ist zwar
> eine Erklärung angegeben, aber aus dieser werde ich leider
> nicht schlau.
Die Potenz [mm] s^\alpha [/mm] ist für [mm] \alpha\in\IR_+ [/mm] ja definiert als [mm] e^{\alpha*ln(s)} [/mm] woraus man sofort sieht das s>0 gelten muss. Bei Deiner Lösung ist [mm] s=1+(1-\alpha)*t [/mm] und dieser Ausdruck muss >0 sein, also [mm] (1-\alpha)*t>-1
[/mm]
Jetzt hängt der zulässige Bereich für t davon ab, ob [mm] 1-\alpha>0 [/mm] oder [mm] 1-\alpha<0 [/mm] gilt.
1) [mm] 1-\alpha>0 \Rightarrow t>\bruch{1}{\alpha-1}
[/mm]
2) [mm] 1-\alpha<0 \Rightarrow t<\bruch{1}{\alpha-1}
[/mm]
Bei [mm] \alpha=1 [/mm] lautet die Lösung [mm] e^t [/mm] und die ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 22.07.2011 | | Autor: | pallago |
Hallo,
danke für die Antwort.
Irgendwie verstehe ich das aber immer noch nicht zu 100%. Wenn ich beispielsweise die DGL $x' = [mm] x^2, [/mm] ~ [mm] x(t_0)=x_0$ [/mm] habe, so kann ich die Lösung ausrechnen, [mm] $\lambda(t) [/mm] = [mm] \frac{x_0}{1-x_0(t-t_0)}$, [/mm] somit erhalte ich Lösungen:
Fall 1: [mm] $x_0=0 \Rightarrow \lambda(t) [/mm] = 0 ~ [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] R$
Fall 2: [mm] $x_0 \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] t [mm] \neq t_0 [/mm] + [mm] \frac{1}{x_0}$ [/mm] Nun zur Frage: Es heißt:
1) [mm] $x_0<0$, $I=\left(t_0 + \frac{1}{x_0}, \infty \right)$
[/mm]
2) [mm] $x_0>0$, $I=\left(-\infty, t_0 + \frac{1}{x_0} \right)$
[/mm]
- wie komme ich da drauf (also auf die maximalen Intervalle ?) - sicherlich ist das ganz einfach, nur ich sehe es nicht. Dass es die max. Lösung ist, weiß ich wie ich es mache, [mm] $\limsup_{t\to t_0 + 1/x_0} \lambda(t) [/mm] = [mm] \pm \infty$
[/mm]
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Sa 23.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Lösung der Differentialgleichung [mm] \lambda\left(t;t_0,x_0\right)=\bruch{x_0}{1-\left(t-t_0\right)*x_0} [/mm] zerfällt in zwei Zweige, getrennt durch die Polstelle [mm] t_1=t_0+\bruch{1}{x_0}
[/mm]
Für [mm] t0 [/mm] und für [mm] t>t_1 [/mm] gilt [mm] \lambda\left(t;t_0,x_0\right)<0
[/mm]
D.h., wenn für den Anfangswert [mm] x_0>0 [/mm] gilt, liegt t im Bereich [mm] t\in\left(-\infty,t_0+\bruch{1}{x_0}\right) [/mm] und wenn [mm] x_0<0 [/mm] gilt, liegt t im Bereich [mm] t\in\left(t_0+\bruch{1}{x_0},\infty\right)
[/mm]
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