Maximum oder Minimum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 So 27.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Haben folgende Funktion ein Maximum oder ein Minimum? Begründen Sie.
1) [mm] f:[-1,1]\to\IR, x\mapsto e^{x sin(x)}
[/mm]
2) [mm] g:[-1,0[\to\IR, x\mapsto\bruch{1}{x^2}
[/mm]
3) [mm] h:]-2\pi,2\pi[\to\IR, x\mapsto [/mm] sin(x) |
Hallo Leute,
1)
wenn ich das richtg verstehe suche ich hier nach min oder max im Intervall
-1 bis 1 bei f.
1. Das Intervall ist kompakt.
2. Die Funktion ist stetig im Intervall, aber warum? Sehe ich nur anhand meiner Zeichnung.
Also wenn ich die FKt. zeichne sehe ich ganz klar das sie ein lokales Minimum bei x=0 für f(x)=1 hat, was auch ein Infimum sein dürfte.
Aber wie zeige ich das, und wie begründe ich das ganze in saubere Mathematik?
2)
g ist das ein halboffenes Intervall.
hier könnte ich mit dem lim argumentieren, das die funktion gegen Null konvergiert, oder?
eigentlich hat sie bei x=0 eine defintionslücke und ist somit auch nicht stetig.
Also dürfte sie auch keine Extremstelle besitzten.
3)
h ist halt ne einfache sinus funktion.
wieder ein halboffenes Intervall.
die hat ja ganz klar min und max.
wie aber begründe ich das ganze in sauber art und weise?
Wie gehe ich mit diesen halboffenen Intervallen um, oder wie betrachte ich die?
1000 Dank Gruß hooover
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Hallo hooover!
Den Nachweis über Minima oder Maxima kannst du ganz normal über eine Kurvendiskussion führen (gilt für alle 3 Funktionen). Dazu bildest du dir nach den bekannten Regeln der Differentiation die jeweils erste UND zweite Ableitung der Funktionen. Indemdu die erste Ableitung zu Null setzt bestimmst du die x-Koordinate(n) der möglichen Extrempunkte. Diese x-Koordinaten (sofern du welche ermitteln konntest) in die jeweils zweite Ableitung einsetzen um die Art des Extremums zu bestimmen.
An den Intervallgrenzen und den Definitionslücken würde ich auf jeden Fall eine rechts- und/oder linksseitige Grenzwertuntersuchung durchführen.
An sich ist die Aufgabe also nicht sehr schwer, höchstens umfangreich.
Gruß,
Tommy
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