Maximumprinzip < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich verstehe folgenden Zusammenhang nicht:
[m]f:U\rightarrow G[/m], [m]U[/m] Gebiet, [m] f [/m] holomorph, dann gilt:
Ist [m]|f|[/m] in [m]z_0\in U[/m] maximal, so ist [m]f[/m] konstant in [m]U[/m].
Wer super, wenn mir das jemand erklären könnte!
Vielen Dank im Voraus,
Lorenz
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Hallo,
> Hallo,
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> ich verstehe folgenden Zusammenhang nicht:
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> [m]f:U\rightarrow G[/m], [m]U[/m] Gebiet, [m]f[/m] holomorph, dann gilt:
> Ist [m]|f|[/m] in [m]z_0\in U[/m] maximal, so ist [m]f[/m] konstant in [m]U[/m].
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> Wer super, wenn mir das jemand erklären könnte!
>
Verstehst du die aussage an sich nicht, oder weisst du nur nicht, wie man das zeigt?
also die aussage ist folgende: fuer holomorphe funktionen (auch fuer reelle harmonische funktionen) weiss man, dass sie ihr maximum nur auf dem rand des gebietes annehmen koennen. Daraus folgt direkt deine aussage: naemlich dass wenn die funktion im inneren eines gebietes 'maximal' ist, sie konstant sein muss.
das maximum-prinzip ist extrem wichtiges prinzip der analysis, den beweis findest du in vielen buechern (ich weiss ihn naemlich im moment nicht auswendig...).
gruss
matthias
> Vielen Dank im Voraus,
> Lorenz
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Hallo Matthias,
herzlichen Dank für die schnelle Reaktion. Würde allerdings doch sehr gerne verstehen warum die Eigenschaft Konstanz zwingend aus den Voraussetzungen folgt. Verständliche und den mich interessierenden herausarbeitende Beweise zum Maximumprinzip hab ich nicht gefunden.
Gruß,
Lorenz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Sa 24.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> > ich verstehe folgenden Zusammenhang nicht:
> >
> > [m]f:U\rightarrow G[/m], [m]U[/m] Gebiet, [m]f[/m] holomorph, dann gilt:
> > Ist [m]|f|[/m] in [m]z_0\in U[/m] maximal, so ist [m]f[/m] konstant in [m]U[/m].
> >
> > Wer super, wenn mir das jemand erklären könnte!
> >
> Verstehst du die aussage an sich nicht, oder weisst du nur
> nicht, wie man das zeigt?
>
> also die aussage ist folgende: fuer holomorphe funktionen
> (auch fuer reelle harmonische funktionen) weiss man, dass
> sie ihr maximum nur auf dem rand des gebietes annehmen
> koennen. Daraus folgt direkt deine aussage: naemlich dass
> wenn die funktion im inneren eines gebietes 'maximal' ist,
> sie konstant sein muss.
> das maximum-prinzip ist extrem wichtiges prinzip der
> analysis, den beweis findest du in vielen buechern (ich
> weiss ihn naemlich im moment nicht auswendig...).
Wenn ich mich richtig dran erinnere, braucht man dazu die Cauchyschen Integralformeln: wenn $f$ auf $U$ holomorph ist, [mm] $z_0 \in [/mm] U$ ist und [mm] $\gamma$ [/mm] ein Kreis um [mm] $z_0$, [/mm] der komplett in $U$ liegt (also die zugehoerige Kreisscheibe mit Rand), dann gilt ja [mm] $f^{(n)}(z_0) [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} d\zeta$.
[/mm]
Insbesondere gilt damit [mm] $|f(z_0)| [/mm] = [mm] \left| \frac{1}{2 \pi i} \int_0^{2 \pi} \frac{f(z_0 + r e^{i t})}{r e^{i t}} r e^{i t} dt \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(z_0 + r e^{i t}) dt \right| \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} |f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})| [/mm] dt$, wenn [mm] $\gamma$ [/mm] den Radius $r$ hat.
Nun mal angenommen, dass $f$ nicht konstant ist und in [mm] $z_0 \in [/mm] U$ ein Maximum annimmt. Dann muss $f$ schon auf jeder Kreisscheibe um [mm] $z_0$ [/mm] nicht konstant sein (nach dem Identitaetssatz), insbesondere gibt es einen Kreis [mm] $\gamma$ [/mm] um [mm] $z_0$ [/mm] so, dass $f$ auf [mm] $\gamma$ [/mm] nicht konstant ist.
Es gibt also ein $t [mm] \in [/mm] [0, [mm] 2\pi]$ [/mm] mit [mm] $|f(\gamma(t))| [/mm] < [mm] |f(z_0)|$, [/mm] und wegen der Stetigkeit von $f$ muss es auf einer ganzen Umgebung von $t$ echt kleiner sein. Sagen wir mal, $|f(z)|$ kann auf einem Kreisbogen von [mm] $\gamma$ [/mm] der Laenge [mm] $\delta$ [/mm] durch [mm] $|f(z_0)| [/mm] - [mm] \varepsilon$ [/mm] abgeschaetzt werden.
Dann gilt [mm] $|f(z_0)| \le \frac{\delta}{2 \pi} (|f(z_0)| [/mm] - [mm] \varepsilon) [/mm] + [mm] \frac{2 \pi - \delta}{2 \pi} |f(z_0)| [/mm] = [mm] |f(z_0)| [/mm] - [mm] \frac{\varepsilon}{2 \pi} [/mm] < [mm] |f(z_0)|$, [/mm] ein Widerspruch.
(Hier wurde der Integrand auf dem Kreisbogen der Laenge [mm] $\delta$ [/mm] durch [mm] $|f(z_0)| [/mm] - [mm] \delta$ [/mm] abgeschaetzt und auf dem Rest des Kreises durch [mm] $|f(z_0)|$.)
[/mm]
LG Felix
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