Meßbare Fkt. stetig? < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 08.07.2007 | | Autor: | Fusioner |
Hallo
ich bin immoment in einer prüfungsvorbereitung und stecke in Ana 3 momentan fest bei Meßbaren Funktionen.
Meine Frage ist sind meßbare fktnen stetig? und hat jemand einen beweis oder ne erklärung.
gruß´und dank Milan
ich hab die frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 So 08.07.2007 | | Autor: | Sir_E |
Hallo Fusioner,
messbare Funktionen müssen im Allgemeinen nicht stetig sein. Ich nehme an, dass ihr in der Vorlesung das p-dimensionale Lebesguesche Maß betrachtet habt, da ist es relativ einfach ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Wenn du zum Beispiel die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen auf
[0,1] betrachtest (Dirichlet Funktion), mit
f(x)=0 für [mm] x\in \IR\setminus\IQ [/mm] und f(x)=1 für [mm] x\in\IQ
[/mm]
dann ist klar, dass die Funktion fast überall (d.h. überall mit der Ausnahme einer Lesbeguesche Nullmenge, wie [mm] \IQ [/mm] eine solche ist, 0 ist).
Nach einem Satz, den ihr bestimmt in der Vorlesung gehabt habt, gilt dann, dass das Maß der Funktion 0 ist.
Also hast du hier eine Funktion, die hochgradig unstetig ist und trotzdem messbar ist.
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