matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMaßtheorieMessbarkeit Komposition
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Maßtheorie" - Messbarkeit Komposition
Messbarkeit Komposition < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Messbarkeit Komposition: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Di 23.06.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei X eine nicht-leere Menge, [mm] (Y,\mathcal{B}) [/mm] ein m.b. Raum und [mm] T:X\to [/mm] Y eine Abbildung. Weiter sei
[mm] \mathcal{A}_T:=T^{-1}(\mathcal{B})=\{T^{-1}:B \in \mathcal{B}\} [/mm]
die von T erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] über X. Zeigen Sie, dass eine nicht-negative Funktion f:X [mm] \to \IR_+ [/mm] genau dann [mm] \mathcal{A}_T-messbar [/mm] ist, wenn eine [mm] \mathcal{B}-m.b. [/mm] Funktion g:Y [mm] \to \IR_+ [/mm] existiert mit
f= [mm] g\circ [/mm] T

Vorweg: Ich gehe hier von einer [mm] \mathcal{A}_T-\mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] aus.

[mm] "\Rightarrow": [/mm]
Ist f m.b., dann [mm] f^{-1}(B)=(g \circ T)^{-1}(B) [/mm] = [mm] g^{-1}(T^{-1}(B)) \in \mathcal{A}_T \forall [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}, [/mm]
da T und g nach Voraussetzung [mm] \mathcal{A}_T [/mm] messbar. (wobei die Reihenfolge der Verkettung eigentlich nicht passt)


[mm] "\Leftarrow": [/mm]
Für B [mm] \in \mathcal{B} [/mm] ist [mm] T^{-1}(B)\in [/mm] X.
[mm] (\underbrace{g \circ T}_{f})^{-1}(B)=T^{-1}(\underbrace{g^{-1}(B)}_{\mathcal{B} m.b.}) \in [/mm] X

Ich frage nach, da mir der Beweis in Verbindung mit der Komposition nicht so ganz klar ist. Hat denn der Teil "nicht-negative Funktion" eine bestimmte Bedeutung oder ist unerheblich?

Na dann hoffe ich mal, dass meine Gebete erhört werden^^

        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Di 23.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Vorweg: Ich gehe hier von einer [mm]\mathcal{A}_T-\mathcal{B}[/mm]-Messbarkeit aus.

Das ist unglücklich formuliert.
[mm] $\mathcal{B}$ [/mm] heißt ja (hier) die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf $Y$.
$f$ ist aber eine Abbildung von $X [mm] \to \IR_+$, [/mm] d.h. welche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] betrachtest du auf [mm] $\IR_+$? [/mm]
Normalerweise würde man dort die Borelsche-Sigma-Algebra betrachten, die man normalerweise mit [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] bezeichet. Der Buchstabe ist hier aber schon vergeben… du solltest also die Bezeichnungen etwas klarer wählen…

> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>  Ist f m.b., dann [mm]f^{-1}(B)=(g \circ T)^{-1}(B)[/mm]

[notok]
Du hast als Voraussetzung: $f$ ist meßbar und nichtnegativ.
Die Existenz eines meßbaren $g: Y [mm] \to \IR_+$ [/mm] mit $f = [mm] g\circ [/mm] T$ ist hier erst zu zeigen.

Was weißt du denn über meßbare, nichtnegative Funktionen?

> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>  Für B [mm]\in \mathcal{B}[/mm] ist [mm]T^{-1}(B)\in[/mm] X.

Nein, [mm] $\in \mathcal{A}_T$. [/mm]

>  [mm](\underbrace{g \circ T}_{f})^{-1}(B)=T^{-1}(\underbrace{g^{-1}(B)}_{\mathcal{B} m.b.}) \in[/mm] X

Auch hier: [mm] $\in \mathcal{A}_T$ [/mm]
Sonst passt es.

>  
> Ich frage nach, da mir der Beweis in Verbindung mit der
> Komposition nicht so ganz klar ist. Hat denn der Teil
> "nicht-negative Funktion" eine bestimmte Bedeutung oder ist
> unerheblich?

Für die Rückrichtung ist das egal, das ist aber auch der einfache Teil.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Messbarkeit Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Mi 24.06.2020
Autor: TS85

Es muss also wieder wie bei [mm] "\Leftarrow" [/mm] die gleiche Verkettungsauflösung verwendet werden damit es zusammenpasst, nur ist die [mm] \mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] von g nicht voraussetzbar.

[mm] \mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] heißt doch hier in diesem Fall, das gilt:
[mm] \forall [/mm] C [mm] \in \IR_+: g^{-1}(C) \in \mathcal{B}. [/mm]

Bekannt ist mir aktuell nur, dass man mithilfe von [mm] \mathcal{A}-messbaren [/mm]  einfachen Funktionen eine nichtnegative Funktion approximieren kann.

Nun müsste allerdings das Urbild [mm] g^{-1}(C) [/mm] mit C [mm] \in \IR_+ [/mm] in den Borelmengen liegen.

Da [mm] \IR_+ [/mm] = [mm] (0,\infty) [/mm] als offenes Intervall auch eine Borelmenge ist,
kann man dann hier bei g von einer [mm] \mathcal{B}-\mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] sprechen?
In diesem Fall müsste ich nur noch zeigen können, dass das Urbild der einfachen Funktionen [mm] \in \mathcal{B}, [/mm] d.h. [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B} [/mm]

Soweit aktuell mein Kenntnisstand, ob das in die richtige Richtung geht weiß ich leider nicht.. Aufklärung wäre dementsprechend nett.

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 24.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es muss also wieder wie bei [mm]"\Leftarrow"[/mm] die gleiche Verkettungsauflösung verwendet werden damit es zusammenpasst, nur ist die [mm]\mathcal{B}-Messbarkeit[/mm] von g nicht voraussetzbar.

Nein, du machst hier den zweiten Schritt vor dem ersten.

Du hast bei [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] erst mal nur, dass es eine meßbare Funktion $f: X [mm] \to \IR_+$ [/mm] gibt und eine Funktion $ [mm] T:X\to [/mm]  Y$ mit den gegebenen Eigenschaften.

Wer sagt nun, dass es überhaupt eine Funktion gibt mit $f = g [mm] \circ [/mm] T$?

Mal ein Gegenbeispiel, wo ein solches $g$ gar nicht existiert:
Sei $X = [mm] \IR_+, [/mm] Y = [mm] \{0\}, [/mm] f(x) = x, T [mm] \equiv [/mm] 0$
Dann ist $f: [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] als Identität bijektiv aber für jedes $g: Y [mm] \to \IR_+$ [/mm] ist $(g [mm] \circ [/mm] T)(x) = g(T(x)) = g(0)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$, d.h. $(g [mm] \circ [/mm] T): [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] ist weder injektiv noch surjektiv, d.h. $f [mm] \not= g\circ [/mm] T$ für alle $g$.

Warum ist das trotzdem kein Gegenbeispiel für obigen Satz?
Na das kann dann nur an der vorausgesetzten Meßbarkeit für $f$ liegen.
Zeige also: Obiges $f$  ist nicht [mm] $\mathcal{A}_T$ [/mm] meßbar.
Dafür wirst du [mm] $\mathcal{A}_T$ [/mm]  für obiges T bestimmen müssen…

Es geht also darum, ein passendes [mm] $\mathcal{B}$-meßbares [/mm] $g$ zu konstruieren, so dass $f = [mm] g\circ [/mm] T$ gilt und nach obigem braucht man dazu offensichtlich die Meßbarkeit von $f$.
Wenn du das verstanden hast, machen wir weiter…

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit Komposition: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:23 Mi 24.06.2020
Autor: TS85

Wenn ich [mm] T\equiv0 [/mm] als T(x)=0 interpretiere, müsste [mm] T^{-1}(x)=0 [/mm] sein,
d.h. [mm] \mathcal{A}_T=\{\emptyset,X,\{0\},\{X\setminus\{0\}\}\} [/mm]

Mit f(x)=x (was natürlich bereits ungleich g [mm] \circ [/mm] T ist)
wäre [mm] f^{-1}(y)=x, [/mm] d.h. [mm] \mathcal{A}_T=\mathcal{P}(X) [/mm] (oder sowas in die absteigende Richtung).

Was genau soll mir das nun aber bringen, da doch sowieso klar ist, dass [mm] f\not=g \circ [/mm] T in diesem Beispiel gilt.

Mit der Konstruktion von g ist mir schon klar, nur was macht man hier dazu? Vermutlich muss g schoneinmal stetig sein.

Bezug
                                        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 26.06.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]