Methode der kleinsten Quadrate < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Do 19.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Die Punkte P liegen auf der Geraden t [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, [/mm] die Punkte Q auf der [mm] Geraden \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}.
[/mm]
Für welche s,t ist das Abstandsquadrat ||P-Q||² minimal? |
Guten Abend,
eigentlich sollte man die Aufgabe mit den Mitteln der linearen Algebra, sprich die Methode der kleinsten Quadrate lösen. Bisher war es aber immer so, dass bestimmte Werte gegeben waren, anhand derer wurde die Kurve entsprechend der gewünschten Form angenähert.
Wie würde man das hier in diesem Fall angehen?
Ich hab es nun mit Analysis probiert und zwar so:
||P-Q||² = || t [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}||² [/mm] = || [mm] \begin{pmatrix} t+s \\ t+3s \\ t-1 \end{pmatrix}||² [/mm] = (t+s)²+(t+3s)²+(t-1)²
Nun habe ich die partiellen Ableitungen gebildet, folgende Funktion ist nun gegeben: F(s,t) = (t+s)²+(t+3s)²+(t-1)² = 0 (für Minimum):
[mm] \bruch{d}{ds} [/mm] F(s,t) = 0:
2(t+s)+2(t+3s)3+2(t-1)0 = 0
(t+s)+3(t+3s) = 0
4t+10s = 0
[mm] \bruch{d}{dt} [/mm] F(s,t) = 0:
2(t+s)+2(t+3s)3+2(t-1) = 0
3t+4s-1 = 0
Dann bin ich wieder zur linearen Algebra und der Methode der kleinste Quadrate zurückgekehrt, da die paritellen Ableitungen genau das gleiche wiedergeben wie:
[mm] A^T [/mm] A x = [mm] A^T [/mm] b
Also habe ich die Matrixgleichung aufgestellt:
[mm] \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Daraus ergibt sich für s und t folgendes:
s = [mm] \bruch{5}{7} [/mm] und t = [mm] -\bruch{2}{7}
[/mm]
Wäre dies die richtige Lösung?
Wie kann man dies nur mit den Mitteln der linearen Algebra lösen?
Besten Dank,
itse
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Hallo itse,
> Die Punkte P liegen auf der Geraden t [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},[/mm]
> die Punkte Q auf der [mm]Geraden \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}.[/mm]
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> Für welche s,t ist das Abstandsquadrat ||P-Q||² minimal?
> Guten Abend,
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> eigentlich sollte man die Aufgabe mit den Mitteln der
> linearen Algebra, sprich die Methode der kleinsten Quadrate
> lösen. Bisher war es aber immer so, dass bestimmte Werte
> gegeben waren, anhand derer wurde die Kurve entsprechend
> der gewünschten Form angenähert.
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> Wie würde man das hier in diesem Fall angehen?
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> Ich hab es nun mit Analysis probiert und zwar so:
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> ||P-Q||² = || t [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}||²[/mm]
Schreibe Exponenten im Formeleditor so: ^{2}
Das muss hier doch so lauten:
[mm]||P-Q||^{2} = || t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\red{-}s*\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}||^{2}[/mm]
> = || [mm]\begin{pmatrix} t+s \\ t+3s \\ t-1 \end{pmatrix}||²[/mm] =
> (t+s)²+(t+3s)²+(t-1)²
Hier heisst es dann:
[mm] =|| \begin{pmatrix} t\red{-}s \\ t\red{-}3s \\ t\red{+}1 \end{pmatrix}||^{2} =
(t-s)^{2}+(t-3s)^{2}+(t+1)^{2}[/mm]
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> Nun habe ich die partiellen Ableitungen gebildet, folgende
> Funktion ist nun gegeben: F(s,t) = (t+s)²+(t+3s)²+(t-1)²
> = 0 (für Minimum):
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> [mm]\bruch{d}{ds}[/mm] F(s,t) = 0:
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> 2(t+s)+2(t+3s)3+2(t-1)0 = 0
> (t+s)+3(t+3s) = 0
>
> 4t+10s = 0
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> [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] F(s,t) = 0:
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> 2(t+s)+2(t+3s)3+2(t-1) = 0
>
> 3t+4s-1 = 0
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> Dann bin ich wieder zur linearen Algebra und der Methode
> der kleinste Quadrate zurückgekehrt, da die paritellen
> Ableitungen genau das gleiche wiedergeben wie:
>
> [mm]A^T[/mm] A x = [mm]A^T[/mm] b
>
> Also habe ich die Matrixgleichung aufgestellt:
>
> [mm]\begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich für s und t folgendes:
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> s = [mm]\bruch{5}{7}[/mm] und t = [mm]-\bruch{2}{7}[/mm]
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> Wäre dies die richtige Lösung?
>
> Wie kann man dies nur mit den Mitteln der linearen Algebra
> lösen?
Nun, der minimale Abstand der beiden Geraden wird erreicht, wenn
der Differenzvektor
[mm]\begin{pmatrix} t\red{-}s \\ t\red{-}3s \\ t\red{+}1 \end{pmatrix}[/mm]
senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht.
Daher ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[mm]\begin{pmatrix}t\red{-}s \\ t\red{-}3s \\ t\red{+}1 \end{pmatrix} \* \pmat{1 \\ 1 \\ 1}=0[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} t\red{-}s \\ t\red{-}3s \\ t\red{+}1 \end{pmatrix} \* \pmat{1 \\ 3 \\ 0}=0[/mm]
>
> Besten Dank,
> itse
Gruss
MathePower
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