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Metrik Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Di 21.06.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Sei [mm] x= \vektor{x_1 \\ ... \\ x_n}, y= \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}, ||x||:= \wurzel{x_1^2+...+x_n^2} [/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] d(x,y):=||x-y|| [/mm] eine Metrik.

Hallo!

Hierfür muss man ja "nur" zeigen, dass d(x,y) positiv definit, symmetrisch ist und die Dreiecksungleichung [mm] ||x-y|| \le ||x-z||+||z-y|| [/mm] gilt.
Die ersten beiden sind einfach, nur beim letzten holper ich irgendwie und mir fehlt die zündende Idee.
Meine Idee war [mm] ||x-y||^2 = ||x-z+z-y||^2 = (x_1-z_1+z_1-y_1)^2+...+(x_n-z_n+z_n-y_n)^2 [/mm].
Und das irgendwie abzuschätzen, aber da komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Das wäre super!

Liebe Grüße,
Lily

        
Bezug
Metrik Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Di 21.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Die ersten beiden sind einfach, nur beim letzten holper
> ich irgendwie und mir fehlt die zündende Idee.

na was ist denn [mm] $||\cdot||$? [/mm]
Was gilt dafür? Und dann: $x-y = x-z + z-y$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Metrik Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Di 21.06.2016
Autor: Mathe-Lily

Hallo Gono, danke für deine schnelle Antwort!
Aber genau das hab ich mir ja überlegt und damit kam ich noch nicht weiter... :-/

Bezug
                        
Bezug
Metrik Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Di 21.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Aber genau das hab ich mir ja überlegt und damit kam ich noch nicht weiter... :-/

nein, du hast ja auch meine Frage nicht beantwortet: Was für ein mathemtisches Objekt ist denn [mm] $||\cdot||$ [/mm] ? Welche Eigenschaften haben diese Objekte?

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Metrik Dreiecksungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Di 21.06.2016
Autor: Mathe-Lily

Achso, sorry!
||.|| ist eine Norm, für die Positive Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung gilt. Und dann kann man natürlich machen:
[mm] ||x-y||= ||x-z+z-y|| \le ||x-z|| + ||z-y|| [/mm]
Ist das wirklich so einfach? Ich dachte, man müsse das grundlegender zeigen!

Liebe Grüße, Lily

Bezug
                                        
Bezug
Metrik Dreiecksungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Di 21.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Achso, sorry!
> ||.|| ist eine Norm, für die Positive Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung gilt.

[ok]

>  Und dann kann man natürlich machen:
>  [mm]||x-y||= ||x-z+z-y|| \le ||x-z|| + ||z-y||[/mm]

[ok]

>  Ist das wirklich so einfach? Ich dachte, man müsse das grundlegender zeigen!

na hast du die Dreiecksungleichung für die Metrik nun gezeigt, oder nicht?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Metrik Dreiecksungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Di 21.06.2016
Autor: Mathe-Lily

Das stimmt ^^
Danke!

Bezug
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