Metrik auf \IR < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a). zeigen Sie, dass
[mm] d_{1} [/mm] : [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] 0, falls x =y und (x,y) [mm] \mapsto [/mm] |x-y|+|x|+|y|, falls x [mm] \not= [/mm] y.
eine Metrik auf [mm] \IR [/mm] definiert. Ist diese Metrik äquivalent zur Euklidischen Metrik, d.h. gibt es poritive reele Zahlen c und C so dass [mm] c|x-y|\le d_{1}(x,y) \le [/mm] C|x-y| für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt?
(b) Sei (X,d) ein metrischer Raum. Die Produktmetrik induziert eine Topologie auf [mm] X\timesX. [/mm] Beweisen Sie, dass die Abbildung d: [mm] X\timesX \to \IR [/mm] stetig ist.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe leider gat keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll..
Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mo 06.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> (a). zeigen Sie, dass
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> [mm]d_{1}[/mm] : [mm]\IR \times \IR \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] 0, falls x
> =y und (x,y) [mm]\mapsto[/mm] |x-y|+|x|+|y|, falls x [mm]\not=[/mm] y.
> eine Metrik auf [mm]\IR[/mm] definiert. Ist diese Metrik äquivalent
> zur Euklidischen Metrik, d.h. gibt es poritive reele Zahlen
> c und C so dass [mm]c|x-y|\le d_{1}(x,y) \le[/mm] C|x-y| für alle
> x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt?
>
Dass $|x-y| [mm] \le d_1(x,y) [/mm] $ ist dürfte klar sein. Also ist $c=1$
Angenommen , es ex. ein C>0 : [mm] $d_1(x,y) \le [/mm] C|x-y|$ für alle x und y
sei n [mm] \in \IN, [/mm] x=1 und y = 1+1/n: Dann bekommst Du: 2+2/n [mm] \le [/mm] C/n für jedes n [mm] \in \N. [/mm] Mit n [mm] \to \infty [/mm] erhäst Du einen Widerspruch
> (b) Sei (X,d) ein metrischer Raum. Die Produktmetrik
> induziert eine Topologie auf [mm]X\timesX.[/mm] Beweisen Sie, dass
> die Abbildung d: [mm]X\timesX \to \IR[/mm] stetig ist.
>
Dem Quelltext entnehme ich, dass d: [mm]X \times X \to \IR[/mm] gemeint ist.
Die Stetigkeit dieser Abbildung folgt aus der Vierecksungleichung (welche aus der Dreiecksungl. folgt):
$|d(x,y)-d(u,v)| [mm] \le [/mm] d(x,u)+d(y,v)$
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich habe leider gat keine Ahnung wie ich diese Aufgabe
> lösen soll..
> Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen!
>
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Leider verstehe ich noch nicht ganz, wie ich jetzt zeigen kann, dass [mm] d_{1} [/mm] eine Metrik auch [mm] \IR [/mm] ist..
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Kann ich einfach zeigen, dass [mm] d_{1} [/mm] folgende Bedingungen erfüllen muss?
1). [mm] d_{1 }(x,x) [/mm] = 0
2). [mm] d_{1}(x,y) [/mm] = 0 wenn x=y
3). [mm] d_{1}(x,y)= d_{1}(y,x)
[/mm]
4). [mm] d_{1}\le d_{1}(x,z)+d_{1}(z,y)
[/mm]
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Hallo Schneehase,
> Kann ich einfach zeigen, dass [mm]d_{1}[/mm] folgende Bedingungen
> erfüllen muss?
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> 1). [mm]d_{1 }(x,x)[/mm] = 0
> 2). Wenn [mm] d_{1}(x,y) [/mm] = 0 wenn dann x=y
> 3). [mm]d_{1}(x,y)= d_{1}(y,x)[/mm]
> 4). [mm] $d_{1}\blue{(x,y)}\le d_{1}(x,z)+d_{1}(z,y)$
[/mm]
Ja, das musst du zeigen, wobei 1)-3) trivial sind bzw. direkt aus den Eigenschaften des Betrages folgen
1) und 2) kannst du auch zusammenfassen zu
[mm] $d_1(x,y)\ge 0\wedge d_1(x,y)=0\gdw [/mm] x=y$ oder auch nur [mm] $d_1(x,y)=0\gdw [/mm] x=y$
Einzig bei 4) musst du etwas nachdenken 
Geh's mal an!
LG
schachuzipus
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Hallo,
> Leider verstehe ich noch nicht ganz, wie ich jetzt zeigen
> kann, dass [mm]d_{1}[/mm] eine Metrik auf [mm]\IR[/mm] ist..
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Das hast du dir selbst beantwortet  , klappere die verschiedenen Punkte der Definition, die du unten aufgeschrieben hast (oder besser der leicht verbesserten aus meiner anderen Antwort ), ab und rechne es stur aus ...
LG
schachuzipus
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okey ich habe bewiesen, dass [mm] d_{1} [/mm] eine Metrik ist und ich habe bewiesen, dass sie nicht der Euklidischen Metrik entspricht.
Meine Frage: Gibt es einen Satz der besagt, dass wenn die Vierecksungleichung gezeigt ist, die Abbildung stetig ist?
Oder folgt das direkt, da die Metrik die Dreiecksungleichung erfüllt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Die Viereecksungl. folgt aus der Dreiecksungl.
2. Die Stetigkeit der Metrik fogt aus der Vierecksungl.
FRED
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