Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:43 Mi 27.04.2005 | | Autor: | wee |
Hallo,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Betsimmen Sie das charakteristische Polynom und das Minimanlpolynom folgender Matrizen:
a) [mm] \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}
[/mm]
b) [mm] \pmat{1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
c) [mm] \pmat{a & b \\ -b & a}
[/mm]
Die charakteristischen Polynome habe ich, nur weiss ich nicht, wie ich die Minimalpolynome formulieren soll. Kann mir außerdem jemand erklären, wofür man allg. Minimalpolynome benötigt. Ich weiss nur, das Minimalpolynome normierte Polynome kleinsten Grades sind und im Kern einer Abb. inhalten sind.
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Do 28.04.2005 | | Autor: | Soldi01 |
also Grundsätzlich musst du einfach von deiner Matrix [mm] \lambda*E[/mm] (E soll die Einheitsmatrix sein) abziehnen, von der daraus entstanden Matrix die Determinante bilden...
Lösung a) [mm] \pmat{0&1\\1&0} - \lambda* \pmat{1&0\\0&1}=\pmat{-\lambda & 1 \\ 1& -\lambda}[/mm]
[mm]\vmat{-\lambda & 1 \\ 1& -\lambda}=\lambda^{2}-1[/mm]
b) [mm] \lambda^{3} - 3*\lambda^{2}+3*\lambda-1[/mm]
c) [mm] \lambda^{2}-b^{2}-a^{2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Do 28.04.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
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> kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
>
> Betsimmen Sie das charakteristische Polynom und das
> Minimanlpolynom folgender Matrizen:
>
> a) [mm]\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}[/mm]
>
> b) [mm]\pmat{1 & c-1 & 0 \\ 0 & 1 & c^2-1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> c) [mm]\pmat{a & b \\ -b & a}[/mm]
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> Die charakteristischen Polynome habe ich, nur weiss ich
> nicht, wie ich die Minimalpolynome formulieren soll. Kann
> mir außerdem jemand erklären, wofür man allg.
> Minimalpolynome benötigt. Ich weiss nur, das
> Minimalpolynome normierte Polynome kleinsten Grades sind
> und im Kern einer Abb. inhalten sind.
Hallo wee
Worauf bezieht sich das Adjektiv minimal in der Formulierung "Minimalpolynom"?. Es ist das eindeutig bestimmte Polynom mit minimalem Grad mit folgenden Eigenschaften
i) das Polynom ist normiert
ii) ersetzt man die Variable x durch Abbildungsmatrix, so kommt die
Nullmatrix heraus (i.e. ist f(x) das Polynom und ist A die
Abbildungsmatrix, so ist f(A) die Nullmatrix).
Ueber das Minimalpolynom weiss man folgendes, ist g(x) irgend ein Polynom so, dass g(A) die Nullmatrix ist, dann teilt das Minimalpolynom das Polynom g(x). Da das charakteristische Polynom diese Eigenschaft hat (Satz von Cayley-Hamilton), teilt das Minimalpolynom das charakteristische Polynom. Ausserdem weiss man, dass das Minimalpolynom die gleichen (ev. komplexen) Nullstellen hat wie das Minimalpolynom.
Besitzt daher das charakteristische Polynome nur einfache Nullstellen, so ist es das Minimalpolynom.
Kennt man das Minimalpolynom, so kann man genauerer Aussagen über die Jordansche Normalform der Matrix einer linearen Selbstabbildung machen.
mfG Moudi
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> Danke im Voraus
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> Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum
> gestellt
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