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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Di 01.11.2011
Autor: Foto

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
Seien dimV = 3, [mm] \alpha [/mm]  Hom(V; V ) und f = [mm] x^{2} [/mm] + 1.
a)Zeigen Sie: Ist K [mm] =\IR [/mm]  so ist [mm] minpol _{\alpha}\not= [/mm] f.
b) Gilt a) auch dann, wenn der Körper K beliebig gewählt ist? Begründen
Sie Ihre Aussage!
Ich habe es mal versucht zu begründen:
a) Die Nullstellen von f sind ja gar nicht in [mm] \IR, [/mm] s.d. es gar kein Minimalpolynom in [mm] \IR [/mm] existiert oder? Weil dann f in [mm] \IR [/mm] nicht reduzibel ist.
b) Ich würde nein sagen, weil in [mm] \IC [/mm] wäre f ja reduzibel und somit würde ein Minimalpolynom doch existieren oder??

Wir machen dieses Thema noch nicht lange, daher kann es sein das ich sachen noch nicht richtig verstanden habe.

Gruß

        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Mi 02.11.2011
Autor: fred97


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  Hallo,
> Seien dimV = 3, [mm]\alpha [/mm]  Hom(V; V ) und f = [mm]x^{2}[/mm] + 1.
>  a)Zeigen Sie: Ist K [mm]=\IR[/mm]  so ist [mm]minpol _{\alpha}\not=[/mm] f.
>  b) Gilt a) auch dann, wenn der Körper K beliebig gewählt
> ist? Begründen
>  Sie Ihre Aussage!
>  Ich habe es mal versucht zu begründen:
>  a) Die Nullstellen von f sind ja gar nicht in [mm]\IR,[/mm] s.d. es
> gar kein Minimalpolynom in [mm]\IR[/mm] existiert oder? Weil dann f
> in [mm]\IR[/mm] nicht reduzibel ist.

Ne, so geht das nicht.

Die Vor. dimV = 3 ist schon wesentlich. Wir bezeichnen das char. Polynom von [mm] \alpha [/mm] mit p. p hat den Grad 3 und damit mindestens eine Nullstell in [mm] \IR. [/mm] Diese Nullstelle ist auch Nullstelle des Minimalpolynoms von [mm] \alpha. [/mm]  f = [mm]x^{2}[/mm] + 1 hat aber keine reelle Nullstelle, kann also somit nicht das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] sein.


>  b) Ich würde nein sagen, weil in [mm]\IC[/mm] wäre f ja reduzibel
> und somit würde ein Minimalpolynom doch existieren oder??


Im Falle K= [mm] \IC [/mm] gib ein konkretes [mm] \alpha [/mm] mit Minimalpolynom f an  !!

FRED

>  
> Wir machen dieses Thema noch nicht lange, daher kann es
> sein das ich sachen noch nicht richtig verstanden habe.
>  
> Gruß


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