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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
a) Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] e^{x} \ge [/mm] 1+x |
Für x=0 ist die Ungleichung erfüllt. Das lasse ich mal ohne das Aufschreiben der Rechnung so stehen. Denke das ist auch klar.
Für den Wertebereich x>0 ist mir auch noch relativ klar was ich mache.
[mm] f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Für b sage ich x>0 und a=0. Daraaus folgt:
[mm] f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-1}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}}.
[/mm]
Weil [mm] x_{0} [/mm] zwischen 0 und x liegt gilt [mm] x_{0} \ge [/mm] 0. Daher ist [mm] e^{x_{0}} \ge [/mm] 1
Also ist
[mm] e^{x_{0}}=\bruch{e^{x}-1}{x} \ge [/mm] 1 [mm] \gdw e^{x}-1 \ge [/mm] x.
Wodurch wiederum [mm] e^{x} \ge [/mm] x+1 ist und somit die Ungleichung für x>0 bewiesen.
Muss das ganze nun tatsächlich auch noch für x<0 durchgeführt werden oder reicht es aus alles so nachzuweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des
> Mittelwertsatzes:
>
> a) Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt [mm]e^{x} \ge[/mm] 1+x
> Für x=0 ist die Ungleichung erfüllt. Das lasse ich mal
> ohne das Aufschreiben der Rechnung so stehen. Denke das ist
> auch klar.
>
> Für den Wertebereich x>0 ist mir auch noch relativ klar
> was ich mache.
>
> [mm]f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
>
> Für b sage ich x>0 und a=0. Daraaus folgt:
>
> [mm]f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-1}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}}.[/mm]
>
> Weil [mm]x_{0}[/mm] zwischen 0 und x liegt gilt [mm]x_{0} \ge[/mm] 0. Daher
> ist [mm]e^{x_{0}} \ge[/mm] 1
>
> Also ist
>
> [mm]e^{x_{0}}=\bruch{e^{x}-1}{x} \ge[/mm] 1 [mm]\gdw e^{x}-1 \ge[/mm] x.
>
> Wodurch wiederum [mm]e^{x} \ge[/mm] x+1 ist und somit die
> Ungleichung für x>0 bewiesen.
>
> Muss das ganze nun tatsächlich auch noch für x<0
> durchgeführt werden
Natürlich !
FRED
> oder reicht es aus alles so
> nachzuweisen?
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fuoor |
[mm] f´(x_{0})=\bruch{e^{-x}-1}{-x-0}=-(\bruch{\bruch{1}{e^{x}}-1}{x})\le1 \gdw -(\bruch{1}{e^{x}}-1) \le [/mm] x [mm] \gdw -e^{-x} \le [/mm] x-1 [mm] \gdw e^{-x} \le [/mm] x+1
Wäre das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Sa 14.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein.
für x<0 ist doch [mm] e^x [/mm] nicht [mm] e^{-x} [/mm] oder meinst du [mm] e^{-|x|}
[/mm]
es gilt sicher nicht [mm] e^{-x}
Gruß leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:32 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich meine [mm] e^{-|x|}. [/mm] Ändert das etwas? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 15.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 So 15.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Push! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 So 15.06.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du brauchst doch in deinem ursprünglichen Beweis nur zu berücksichtigen, dass jetzt $ [mm] e^{x_0}\le [/mm] 1 $ gilt und dass sich bei Multiplikation einer Ungleichung mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umkehrt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 15.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich verstehe noch nicht so genau wo ich im Ansatz da dann *(-1) unterbringe. Ich sage, dass [mm] x_{0} \le [/mm] 0 ist ... also irgendwo zwischen -|x| und 0 liegt. Ich bleibe dann beim ursprünglichen Beweis und sage
[mm] f´(x_{0})=\bruch{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}}
[/mm]
Ich folgere dann, dass [mm] x_{0} [/mm] zwischen -|x| und 0 liegt, also eine negative reelle Zahl oder 0 ist und entsprechend [mm] e^{x_{0}} \le [/mm] 1 ist. Wie bringe ich das dann in den Ansatz? Ich habe da irgendwie Bretter vor dem Kopf...
Für mich wäre es dann
[mm] e^{x_{0}}=\bruch{e^{x}-1}{-|x|} \le [/mm] 1 [mm] \gdw e^{x}-1 \ge [/mm] -|x| [mm] \gdw e^{x} \ge [/mm] -|x|+1
Sieht aber komisch aus und fühlt sich falsch an....
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 15.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
lass einfach die Beträge weg! und rechne mit x<0 [mm] e^x<1
[/mm]
aber deine Gleichung ist doch sehr komisch, zumindest wenn du nicht sagst, wo [mm] x_0 [/mm] liegt bzw wie der MWS verwendet wird
[mm] f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}} [/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 15.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Nunja ... [mm] x_{0} [/mm] muss zwischen 0 und 1 liegen da die e Funktion immer positiv ist. Also ist [mm] x_{0} \le [/mm] 1. Und daraus folgt
$ [mm] f'(x_{0})=\bruch{e^{x}-e^{0}}{x-0}=\bruch{e^{x}-1}{x}=e^{x_{0}} [/mm] $ [mm] \le [/mm] 1
Nur wie bekomme ich da dann das Ungleichheitszeichen gedreht?
Ich stehe irgendwie hammermäßig auf dem Schlauch ... sorry :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 15.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du multiplizierst mit x<1, solltest aber den MWS genauer zitieren, gilt das für festes [mm] x_0 [/mm] für jedes x oder für festes x für jedes [mm] x_o?
[/mm]
Gruss leduart
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