Mittelwertsatz < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Phecda |
hi ich hab eine aufgabe zu bearbeiten:
nr 3 von http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mathlife/teaching/ws0708/analysis/problems11.pdf
mein problem ist nun, dass ich nicht weiß was ich überhaupt beweisen soll...
wenn ich den mittelwertsatz mach f(x) umforme kommt ja schon die gleichung raus... wo ist hier der hacken? Was muss man hier zusätzlich beweisen? Hab ich ieie Vorraussetzung vergessen
wäre dankbar für hilfe
mfg
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Irgendwas ist beim Posten schief gelaufen, schau einfach in die andere Antwort!
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Hi!
Also wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann musst du zeigen, dass es eine stetige Funktion [mm]\phi(x)[/mm] gibt mit den angegebenen Eigenschaften. Allerdings hilft der Mittelwertsatz da nicht, denn der garantiert dir nur, dass wenn du eine stetige, diff'bare Funktion [mm]f(x)[/mm] auf einem Intervall [mm]I=[a,b][/mm] betrachtest, dass es dann mindestenz eine Zwischenstelle [mm]x_{0}[/mm] gibt für die die Funktion an dieser Stelle die Steigung [mm]\bruch{f(a)-f(b)}{a-b}[/mm] hat. Er garantiert dir allerdings keine Funktion!
Ich würde dafür die Differenzier'barkeit ausnutzen:
Definiere [mm] \phi(x)=\left\{\begin{matrix} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}, & \mbox{wenn }x\not=x_{0}\\ f'(x_{0}), & \mbox{wenn }x=x_{0}\end{matrix}\right.[/mm]
Diese Funktion ist wohldefiniert, da f, f' wohldefiniert und die beiden Behauptungen erhält man direkt oder durch eine kleine Umformung!
Was noch fehlt ist die Stetigkeit in [mm] x_{0}:
[/mm]
Dafür zeigen wir : [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \phi(x)= f'(x_{0})=\phi(x_{0}) [/mm].
Die schnelle Variante ist: f(x) ist differenzierbar in [mm] x_{0} [/mm] und damit ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \phi(x)=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=f'(x_{0}) [/mm]
Anders:
Nutze: [mm] f(x)=f(x_{0})+\phi(x)(x-x_{0}) [/mm]
Differenzieren (f ist diff'bar in [mm] x_{0}) [/mm] liefert: [mm] f'(x)=\phi'(x)(x-x_{0})+\phi(x)*1 \Rightarrow f'(x_{0})=\phi(x_{0})[/mm].
[/mm]
Damit also:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \phi(x)= f'(x_{0})=\phi(x_{0}) [/mm].
Und das war's!
Ich hoffe es hilft dir!
Gruß Deuterinomium
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