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| Aufgabe | Ein Tasse enthält 100 ml Kaffee, dessen Temperatur zu Beginn 100°C beträgt. Se kühlt in einem Raum mit einer Umgebungstemperatur von 20°C ab. Nach 2 Minuten beträgt die Temperatur nur noch 75°C. Als Abkühlungsgesetz kann [mm]T_{1}(t)=20+b*e^{-kt}[/mm] angenommen werden (Zeit t in min, [mm]T_{1}[/mm] in °C).
a) Bestimmen Sie die Konstanten b und k.
Welcher Grenztemperatur nähert sich der Kaffee inm Lauf der Zeit? Wie groß ist die Änderungsrate der Temperatur zum Zeitpunkt t=10?
b) Ein weiterer Kaffee Becher mit ebenfalls 100 ml Inhalt hat zur Zeit t=10 eine Temperatur von nur 80°C. Er besitzt allerdings eine Isolierschicht, so dass er langsamer abkühlt und nach 2 Minuten immer noch 65°C heiß ist. Bestimmen Sie im zugehörigen Abkühlungsgesetz [mm]T_{2}(t)=20+c*e^{-st}[/mm] die Konstanten c und s.
c) Wann hat der Kaffee ind der Tasse und im Becher die gleiche Temperatur? Zu welcher Zeit danach ist der Temperaturunterschied am größten?
d) Bestimmen Sie die mittleren Abkühlungsraten der beiden Prozesse in den ersten 10 Minuten.
e)Hans möchte den 80°C heißen Kaffee im Isolierbecher (100ml) bis auf 50°C abkühlen lassen und dann trinken. Wie lange dauert dieser Abkühlungsprozess?
Um den Abkühlungsprozess zu beschleunigen, setzt Hans dem Kaffee zu Beginn 50ml Milch zu, deren Temperatur exakt 20°C beträgt. Welche Anfangstemperatur stellt sich ein? Wie lautet nun das Abkühlungsgesetz? Welchen Zeitgewinn erreicht Hans damit? |
zu a) Abkühlungsgesetzt lautet:
[mm]T_{1}(t)=20+80e^{-0,1873t}[/mm]
Grenztemperatur beträgt 20°C. Ich habe nur mit dem Taschenrechner für t immer größere Werte eingesetzt und 20 kommt am Schluss raus. Wie kann man den Grenzwert mit lim bestimmen?
Änderungsrate ist also Ableitung gemeint:
[mm]T_{1}'(t)=-14,984*e^{-0,1873t}[/mm]
daraus folgt: [mm]T_{1}'(10)= -14,984*e^{-0,1873*10}[/mm]
[mm]T_{1}'(10)= -2,302...[/mm] <-- stimmt das?
zu b) Hier weiß ich nicht wie heiß der Kaffee am Anfang (t=0) war? Wie kann ich das Abkühlungsgesetz bestimmen?
zu c) Mein geplanter Lösungsweg:
[mm]T_{1}(t)=T_{2}(t)[/mm] ausrechnen.
Zur Temperaturunterschied Frage: Ist hier die Steigung gefragt oder Integral?
zu d) [mm]\bruch{\Delta T_{1}}{\Delta t}=\bruch{T_{1}(10)-T_{1}(0)}{10-0}=\bruch{32,29-100}{10}= -6,771[/mm]
Das Gleiche gilt für [mm]T_{2}[/mm]
zu e) Jetzt klingt diese Aufgabe nach Physik, hat irgendjemand eine Formel oder einen Lösungvorschlag für mich?
Danke im Voraus.
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Hallo!
Zum Limes: Du solltest wissen, wie die e-Funktion aussieht, und daß dann [mm] \lim_{x\mapsto -\infty}e^x=0 [/mm] ist. Da du hier nen negativen Exponenten hast,...
zu b)
Hier hast du die Schwierigkeit, daß der Exponent nicht null ist. Aber du hast zwei Zeitpunkte mit zwei Temperaturen. Das ergibt zwei Formeln
$ [mm] T_{1}=20+b\cdot{}e^{-kt_1} [/mm] $
$ [mm] T_{2}=20+b\cdot{}e^{-kt_2} [/mm] $
mit zwei Unbekannten. Ein erster Tipp: Bring die 20 auf die andere Seite, und dividiere die beiden Gleichungen, dann ist das b weg.
zum Temperaturunterschied: Ich weiß nicht genau, was du meinst. Es ist [mm] $\Delta T(t)=T_1(t)-T_2(t)$ [/mm] . Das nun nach t ableiten, null setzen, Wert für t ermitteln und diesen wieder in [mm] $\Delta [/mm] T(t)$ einsetzen.
zur e)
Hier solltest du nicht gleich die Waffen strecken, nur weil das nach Physik riecht... Zunächst sollte es doch kein Problem sein, herauszufinden, wann der Kaffee 50°C hat.
Zu der Sache mit der Milch. WEnn du 100 Leute mit 80€ hast, und es kommen 50 Leute mit 20€ dazu, wieviel Geld haben die Leute dann durchschnittlich?
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