Modul und Ideal < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Hey Leute,
hier ist wieder die Dana (und ihre Gruppe) und hat wieder ein kleines Problem. Ich hätte gerne einen kleinen Denkanstoß zu folgender Aufgabe.
Seien L, N Untermoduln des R-Molduls M.
Zeige: (L : M) := [mm]\{[/mm][mm]r\in\[/mm]R|[mm]r*n\in\[/mm]L,für alle[mm]n\in\N[/mm] N [mm]\}[/mm] (hier müsst ihr euch eine geschweifte Klammer zu denken. das Ding spinnt!!) ist ein Ideal.
(Marcel: korrigiert! Klick mal auf Quelltext, dann siehst du, was ich getan habe  )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Di 22.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
> Seien L, N Untermoduln des R-Molduls M.
>
> Zeige: (L : M) := [mm]\{[/mm][mm]r\in\[/mm]R|[mm]r*n\in\[/mm]L,für alle[mm]n\in\N[/mm] N [mm]\}[/mm]
> ist ein Ideal.
Zu zeigen ist:
(1) $0 [mm] \in [/mm] (L:M)$,
(2) $r [mm] \in [/mm] (L:M), \ r' [mm] \in (L:M)\qquad \Rightarrow \qquad [/mm] r-r' [mm] \in [/mm] (L:M)$,
(3) $r [mm] \in (L:M),\, [/mm] r' [mm] \in [/mm] R [mm] \qquad \Rightarrow \qquad [/mm] r'r [mm] \in [/mm] (L:M)$.
Alle drei Eigenschaften folgen aber leicht:
zu (1):
Offenbar gilt für alle $n [mm] \in [/mm] N$:
$0 * n = 0 [mm] \in [/mm] L$,
da $L$ ein Untermodul des $R$-Moduls $M$ ist und somit das neutrale Element von $(M,+)$ enthält.
zu (2):
Aus $r * n [mm] \in [/mm] L$ und $r' * n [mm] \in [/mm] L$ für alle $n [mm] \in [/mm] N$ folgt auch:
$(r - r') * n = r* n - r' * n [mm] \in [/mm] L$
für alle $n [mm] \in [/mm] N$, da $L$ ein Untermodul des $R$-Moduls $M$ ist und somit bezüglich der Addition und (additiven) Inversenbildung abgeschlossen ist.
zu (3):
Aus $r * n [mm] \in [/mm] L$ für alle $n [mm] \in [/mm] N$ folgt mit $r' [mm] \in [/mm] R$:
$(r' * r)*n = r' * (r * n) [mm] \in [/mm] L$
für alle $n [mm] \in [/mm] N$, da $L$ ein Untermodul des $R$-Moduls $M$ ist und somit $L$ bezüglich der Multiplikation mit Ringelementen abgeschlossen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 So 27.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Guten Abend Julius,
darf ich dich nochmal darum bitten, Kontrolleur zu spielen?
Danke Dana.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 So 27.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
Ja, das ist alles richtig und hervorragend aufgeschrieben. Es ist ja aber auch genau das, was ich geschrieben hatte, nur noch etwas ausführlicher.
Super! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Liebe Grüße
Julius
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