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| Aufgabe 1 | Eine Möbiustransformation ist eine Abbildung der Form z [mm] \mapsto \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] für komplexe Zahlen a,b,cd mit ad-bc [mm] \not= [/mm] 0.
Sei M die Menge der Möbiustransformationen.
Zeige:
a)
Jede Möbiustransformation lässt sich zu einer stetigen Abbildung [mm] P^{1} \to P^{1} [/mm] fortsetzen.
b)
[mm] \mu:GL(2,\IC) \to [/mm] M, [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \mapsto \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus.
c)
Bestimme [mm] kern(\mu [/mm] ) und folgere [mm] PSL(2,\IC) [/mm] := [mm] SL(2,\IC)/{\pm 1} \cong [/mm] M. |
| Aufgabe 2 | Für [mm] z_{0} \in \IC [/mm] sei [mm] \mu_{z_{0}} [/mm] die Abbildung z [mm] \mapsto \bruch{z-z_{0}}{1-z\overline{z_{0}}}.
[/mm]
a)
Für welche ist [mm] \mu_{z_{0}} [/mm] eine Möbiustransformation?
b)
Sei [mm] \mu_{z_{0}} [/mm] eine Möbiustransformation.
Zeige, dass [mm] \mu_{z_{0}} [/mm] den Rand des Einheitskreises auf sich selbst abbildet und [mm] z_{0} [/mm] auf 0.
Gebe das Inverse von [mm] \mu_{z_{0}} [/mm] an.
c)
Zeige:
Die Automorphismen von E sind genau die Abbildungen [mm] e^{i\phi}\mu_{z_{0}} [/mm] mit [mm] \vmat{ z }<1 [/mm] und [mm] \phi \in \IR. [/mm] |
Hallo!
Sitze mal wieder total hilflos an meinem FT Blatt.
Hab diesesmal leider gar keine Ahnung, was ich machen soll.
Als einziger Hinweis hat man mir zu 2. Aufgabe gesagt, ich solle mir das "Schwarzsche Lemma" anschauen.
Kann mir jemand von Euch weiterhelfen?
Wäre Euch echt super dankbar, da ich um jeden Punkt glücklich bin 
GuK
Karin
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Beginnen wir mit a).
Nehmen wir zunächst an, daß [mm]c \neq 0[/mm] ist.
Für welche [mm]z \in \mathbb{C}[/mm] ist [mm]\mu(z) = \frac{az+b}{cz+d}[/mm] zunächst nur erklärt? Offenbar für alle außer [mm]z = - \frac{d}{c}[/mm]. Und was gilt nun beim Grenzübergang [mm]z \to - \frac{d}{c}[/mm]?
1. Weise nach, daß der Zähler für [mm]z \to - \frac{d}{c}[/mm] nicht gegen 0 strebt. Da aber der Nenner dies offenbar tut, wächst der Betrag von [mm]\mu(z)[/mm] für [mm]z \to - \frac{d}{c}[/mm] über alle Grenzen. Auf der Riemannschen Zahlenkugel strebt also [mm]\mu(z)[/mm] gegen [mm]\infty[/mm]. Daher wird man durch die Definition
[mm]\mu \left( - \frac{d}{c} \right) = \infty[/mm]
[mm]\mu[/mm] stetig nach [mm]\frac{d}{c}[/mm] fortsetzen.
Jetzt ist [mm]\mu[/mm] für alle komplexen Zahlen definiert. In [mm]P^1[/mm] liegt aber auch noch [mm]\infty[/mm]. Was passiert aber nun mit [mm]\mu(z)[/mm] für [mm]z \to \infty[/mm]?
2. Weise nach, daß [mm]\mu(z) \to \frac{a}{c}[/mm] für [mm]z \to \infty[/mm]. Daher wird man durch die Defnition
[mm]\mu \left( \infty \right) = \frac{a}{c}[/mm]
[mm]\mu[/mm] stetig nach [mm]\infty[/mm] fortsetzen.
Zusammenfassend erhält man also durch
[mm]\mu: \ P^1 \to P^1 \, , \ \ z \mapsto \mu(z) = \begin{cases} \frac{az+b}{cz+d} & \mbox{für} \ z \neq - \frac{d}{c} , \infty \\ \infty & \mbox{für} \ z = - \frac{d}{c} \\ \frac{a}{c} & \mbox{für} \ z = \infty \end{cases}[/mm]
eine stetige Funktion im Sinne der Stetigkeit auf der Riemannschen Zahlenkugel, falls [mm]c \neq 0[/mm] ist.
Und zu guter Letzt mußt du alles noch entsprechend durchgehen, wenn [mm]c=0[/mm] ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Sa 10.06.2006 | | Autor: | karin1982 |
Hi!
Vielen Dank schon mal für die netten Tipps zur Nr. 1!
Könnt ihr mir noch weiterhelfen!
Stehe nämlich echt total auf dem Schlauch!
Wäre Euch super dankbar!
GuK
Karin
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Setze bei Aufgabe 1, b) zwei Möbiustransformation
[mm]\mu(z) = \frac{az+b}{cz+d}, \ \ \hat{\mu}(z) = \frac{\hat{a}z+\hat{b}}{\hat{c}z+\hat{d}}[/mm]
ineinander ein und bringe den Bruch auf Normalgestalt:
[mm]\mu \left( \hat{\mu}(z) \right) = \frac{\left( \ldots \right) \, z + \left( \ldots \right)}{\left( \ldots \right) \, z + \left( \ldots \right)}[/mm]
Zeige, daß die Koeffizienten [mm]\left( \ldots \right)[/mm] gerade die Elemente des Matrizenproduktes
[mm]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{a} & \hat{b} \\ \hat{c} & \hat{d} \end{pmatrix}[/mm]
sind.
Bei Aufgabe 1, c) mußt du dir überlegen, welche Freiheiten du hast, die Identität auszudrücken, für welche [mm]a,b,c,d[/mm] also
[mm]\frac{az+b}{cz+d} = z[/mm]
für alle (!) [mm]z[/mm] gilt. Nenner hochmultiplizieren, Koeffizientenvergleich der Polynome.
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Hi nochmal!
Vielen Dank nochmals für Deine/ Eure nette Hilfe!
Kann mir denn auch noch jemand bei Nr. 2 helfen?
Wäre super!
VlG
Karin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 So 11.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Karin!
> Kann mir denn auch noch jemand bei Nr. 2 helfen?
Also 2 a) kannst du sehr einfach mit Aufgabe 1 erledigen. Schreib doch mal die zugehoerige Matrix hin und rechne die Determinante aus.
Zu 2 b): Wenn $|z| = 1$ ist, was ist dann [mm] $|\mu_{z_0}(z)|$? [/mm] Das muss gleich 1 sein. Also nachrechnen. Damit weisst du dann, dass [mm] $\mu_{z_0}$ [/mm] den Einheitskreisrand in sich selber abbildet.
Jetzt gib das Inverse von [mm] $\mu_{z_0}$ [/mm] an. Tipp: Das ist ebenfalls von der Form [mm] $\mu_{z'_0}$ [/mm] fuer ein [mm] $z_0'$. [/mm] Damit bekommst du dann auch die andere Inklusion.
Zu 2 c): Benutze das Lemma von Schwarz: Konstruiere zu einem Einheitskreisautomorphismus $f : E [mm] \to [/mm] E$ zuerst einen Autormophismus $F : E [mm] \to [/mm] E$ mit $F(0) = 0$ (ein passendes [mm] $\mu_{z_0}$ [/mm] entweder von vorne oder von hinten mit $f$ verketten); dann wende das Lemma von Schwarz auf $F$ an.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 11.06.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Karin
Also dann mal zur Nr zwei:
a) Ich nehme einfach mal an die Aufgabe lautet: Für welche a,b,c,d ist [mm] \mu_{z_0} [/mm] eine Möbi, oder? Du hast da nen Teil der Aufgabenstellung vergessen. Die Antwort ist doch nicht schwer (wenn sie so lauten sollte): Stell doch die Formel etwas um
z [mm] \mapsto \bruch{1z-z_{0}}{-\overline{z_{0}}z+1}
[/mm]
dann folgt a = 1 und d = -1 und b = [mm] -z_{0} [/mm] und c = [mm] -\overline{z_{0}}
[/mm]
b) Der Rand des Einheitskreises ist doch gerade |z|=1, um diesen abzubilden mit der Möbi musst du einfach statt z immer |z|, also 1 einsetzen. Und rauskommen muss dann wieder 1, also |z|. Versuch das doch mal selbst.
Für den zweiten Teil musst du einfach [mm] z_0 [/mm] einsetzen (anstatt z) und da siehst du sofort, dass 0 rauskommt.
Tja und bei dem dritten Teil bin ich grad nicht sicher:
Für das Inverse gilt ja immer [mm] \mu_{z_0} *{\mu_{z_0}}^{-1} [/mm] = 1, vielleicht versuchst du selbst weiter zu kommen (bin grad zu faul)
Erstmal so weit, außerdem schau doch mal bei Wikipedia nach Möbi, das ist recht informativ.
Liebe Grüße Binie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Do 15.06.2006 | | Autor: | karin1982 |
Habt noch nachträglich vielen Dank für Eure nette Hilfe!
habt mir echt weitergeholfen!
GuK
Karin
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