Monoid < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 20.01.2008 | | Autor: | Mephis |
| Aufgabe | Es sei M eine beliebige Menge und P(M) ihre Potenzmenge.
a) Zeigen Sie, dass [mm] (P(M),\cap) [/mm] ein Monoid ist. Hierzu können Sie folgende
Schritte durchführen:
i. Schreiben Sie sich die beiden Eigenschaften auf, die [mm] \cap [/mm] erfüllen muss.
ii. Überlegen Sie sich, welches Element von P(M) das neutrale Element
ist.
iii. Begründen Sie, warum die Gleichungen aus Schritt i. wahr sein müssen.
b) Ist (P(M), [mm] \cup) [/mm] auch ein Monoid? |
Hallo liebe Community,
ich muss bis Morgen paar Aufgaben lösen und brauche wieder kurzfristig Eure Hilfe.
Meine Lösung wäre:
a)
i. Wenn [mm] (P(M),\cap) [/mm] ein Monoid sein soll, muss:
1) [mm] (P(M),\cap) [/mm] eine Halbgruppe sein. D.h. die Verknüpfung [mm] \cap [/mm] muss assoziativ sein.
2) ein neutrales Element e [mm] \in [/mm] P(M) existieren mit e [mm] \cap [/mm] x=x [mm] \cap [/mm] e = x für alle x [mm] \in [/mm] P(M)
ii. Das neutrale Element ist die Menge M, da M [mm] \cap [/mm] x = x [mm] \cap [/mm] M = x für alle x [mm] \in [/mm] P(M)
iii. Die Verknüpfung [mm] \cap [/mm] ist assoziativ, weil (x [mm] \cap [/mm] y) [mm] \cap [/mm] z=x [mm] \cap [/mm] (y [mm] \cap [/mm] z) für alle x,y,z [mm] \in [/mm] P(M) und wie wir in (ii) sehen, existiert auch ein Neutrales Element. Also ist (P(M), [mm] \cap [/mm] ) ein Moniod.
b) (P(M), [mm] \cup) [/mm] ist aufjedenfall eine Halbgruppe, da die Verknüpfung [mm] \cup [/mm] assoziativ ist. Mit dem neutralen Element bin ich mir aber nicht ganz sicher. Ist [mm] \emptyset [/mm] das neutrale Elment? Wenn ja, ist (P(M), [mm] \cup) [/mm] ebenfalls ein Monoid. Richtig?
Und ist der Lösungsweg überhaupt so korrekt?
Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Mo 21.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Es sei M eine beliebige Menge und P(M) ihre Potenzmenge.
> a) Zeigen Sie, dass [mm](P(M),\cap)[/mm] ein Monoid ist. Hierzu
> können Sie folgende
> Schritte durchführen:
> i. Schreiben Sie sich die beiden Eigenschaften auf, die
> [mm]\cap[/mm] erfüllen muss.
> ii. Überlegen Sie sich, welches Element von P(M) das
> neutrale Element
> ist.
> iii. Begründen Sie, warum die Gleichungen aus Schritt i.
> wahr sein müssen.
> b) Ist (P(M), [mm]\cup)[/mm] auch ein Monoid?
> a)
> i. Wenn [mm](P(M),\cap)[/mm] ein Monoid sein soll, muss:
> 1) [mm](P(M),\cap)[/mm] eine Halbgruppe sein. D.h. die Verknüpfung
> [mm]\cap[/mm] muss assoziativ sein.
> 2) ein neutrales Element e [mm]\in[/mm] P(M) existieren mit e [mm]\cap[/mm]
> x=x [mm]\cap[/mm] e = x für alle x [mm]\in[/mm] P(M)
>
> ii. Das neutrale Element ist die Menge M, da M [mm]\cap[/mm] x = x
> [mm]\cap[/mm] M = x für alle x [mm]\in[/mm] P(M)
> iii. Die Verknüpfung [mm]\cap[/mm] ist assoziativ, weil (x [mm]\cap[/mm] y)
> [mm]\cap[/mm] z=x [mm]\cap[/mm] (y [mm]\cap[/mm] z) für alle x,y,z [mm]\in[/mm] P(M) und wie
> wir in (ii) sehen, existiert auch ein Neutrales Element.
> Also ist (P(M), [mm]\cap[/mm] ) ein Moniod.
perfekt.
> b) (P(M), [mm]\cup)[/mm] ist aufjedenfall eine Halbgruppe, da die
> Verknüpfung [mm]\cup[/mm] assoziativ ist. Mit dem neutralen Element
> bin ich mir aber nicht ganz sicher. Ist [mm]\emptyset[/mm] das
> neutrale Elment? Wenn ja, ist (P(M), [mm]\cup)[/mm] ebenfalls ein
> Monoid. Richtig?
ja, korrekt.
> Und ist der Lösungsweg überhaupt so korrekt?
alles 100%ig.
Gruß
Will
|
|
|
|
