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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Gegeben seien 2 streng monotone Funktionen
f: Df -> Wf und g: Dg -> Wg
mit Wg [mm] \subset [/mm] Df ,Df, Dg, Wf, Wg Intervalle. Wie verhält sich (f [mm] \circ [/mm] g), wenn gilt:
(i) f monoton wachsend und g monoton wachsend, |
Hey, hier bin ich mal wieder vollkommen überfragt. Also beide Funktionen steigen gleichsinnig an. Kann mir jemand vielleicht sagen was dieses Zeichen beudetet, dass die Beziehung zwischen Wg und Df beschreibt? [mm] \subset
[/mm]
Vielleicht hilft mir das schon mal bei der Vorstellung, was man hier überhaupt wirklich machen soll.
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> Gegeben seien 2 streng monotone Funktionen
> f: Df -> Wf und g: Dg -> Wg
> mit Wg [mm]\subset[/mm] Df ,Df, Dg, Wf, Wg Intervalle. Wie verhält
> sich (f [mm]\circ[/mm] g), wenn gilt:
> (i) f monoton wachsend und g monoton wachsend,
> Hey, hier bin ich mal wieder vollkommen überfragt. Also
> beide Funktionen steigen gleichsinnig an. Kann mir jemand
> vielleicht sagen was dieses Zeichen beudetet, dass die
> Beziehung zwischen Wg und Df beschreibt? [mm]\subset[/mm]
> Vielleicht hilft mir das schon mal bei der Vorstellung,
> was man hier überhaupt wirklich machen soll.
>
Hallo Shoegirl,
[mm] W_g[/mm] [mm]\subset[/mm] [mm] D_f [/mm] bedeutet, dass [mm] W_g [/mm] (der Wertebereich der Funktion g)
im Definitionsbereich [mm] D_f [/mm] als Teilmenge enthalten sein soll.
Diese Voraussetzung garantiert, dass man die zusammengesetzte
Funktion f [mm]\circ[/mm] g überhaupt bilden kann, denn bei dieser Zusammen-
setzung müssen ja output-Werte von g als input-Werte in
die Funktion f eingesetzt werden.
Gesucht ist eine Aussage über das Monotonieverhalten der
zusammengesetzten Funktion. Um dir das Ganze klar zu
machen, mach dir vielleicht mal ein Beispiel, etwa mit den
Funktionen [mm] g:x\mapsto{x^3} [/mm] und [mm] f:x\mapsto{2^x}
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 23.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Gegeben seien 2 streng monotone Funktionen
f: Df -> Wf und g: Dg -> Wg
mit Wg [mm] \subset [/mm] Df ,Df, Dg, Wf, Wg Intervalle. Wie verhält sich (f [mm] \circ [/mm] g), wenn gilt:
(i) f monoton wachsend und g monoton wachsend, |
Danke.
Der Definitonsbereich umfasst ja alle Werte die eine Funktion annehmen kann und in der sie gültig (also definiert) ist. Der Wertebereich waren dann die Lösungen die mit der definierten Funktion herauskommen können... Das das im Verhältnis stehen muss ist damit ja klar.
So und nun soll man i annehmen das f monoton wächst und g ebenfalls.Dies ist verbunden mit der Verkettung. Man muss also f(g)=f(g(x)) berechnen.
Aber ich verstehe es nicht...Da wir hier gar keine Funktion haben sondern lediglich diese komischen Angaben zu D und W. Nehmen wir die Zahlen aus deinem Beispiel hätte man doch f(g)= [mm] 2^x *(x^3) [/mm] . Auch eine schwierige Funktion... Ich weiß nicht mehr wie man ein hoch x runter bekommt. Ich glaube das war was mit der Exponentialfunktion des Taschenrechners...Ist alles schon so lange her.
Soll man das ganze mit Beispielzahlen durchführen die man selbst wählt? Oder kann man das wirklich einfach nur mit den Angaben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien 2 streng monotone Funktionen
> f: Df -> Wf und g: Dg -> Wg
> mit Wg [mm]\subset[/mm] Df ,Df, Dg, Wf, Wg Intervalle. Wie verhält
> sich (f [mm]\circ[/mm] g), wenn gilt:
> (i) f monoton wachsend und g monoton wachsend,
>
> Danke.
> Der Definitonsbereich umfasst ja alle Werte die eine
> Funktion annehmen kann
Nein. Der Definitionsbereich besteht aus den Elementen, in denen die Funktion definiert ist
> und in der sie gültig (also
> definiert) ist.
> Der Wertebereich waren dann die Lösungen
> die mit der definierten Funktion herauskommen können...
Na ja, das ist kaum zu verstehen ...
> Das das im Verhältnis stehen muss ist damit ja klar.
Dieser Satz ist mir nicht klar.
> So und nun soll man i annehmen das f monoton wächst und g
> ebenfalls.Dies ist verbunden mit der Verkettung. Man muss
> also f(g)=f(g(x)) berechnen.
Die Funktion f [mm] \circ [/mm] g hat den Definitionsbereich [mm] D_g [/mm] und den Wertebereich [mm] W_f
[/mm]
Ich verrat es Dir: f [mm] \circ [/mm] g ist ebenfalls monoton wachsend.
Dazu nimm x,y [mm] \in D_g [/mm] mit x<y und zeige (f [mm] \circ [/mm] g )(x) [mm] \le [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g )(y)
FRED
> Aber ich verstehe es nicht...Da wir hier gar keine
> Funktion haben sondern lediglich diese komischen Angaben zu
> D und W. Nehmen wir die Zahlen aus deinem Beispiel hätte
> man doch f(g)= [mm]2^x *(x^3)[/mm] . Auch eine schwierige
> Funktion... Ich weiß nicht mehr wie man ein hoch x runter
> bekommt. Ich glaube das war was mit der Exponentialfunktion
> des Taschenrechners...Ist alles schon so lange her.
> Soll man das ganze mit Beispielzahlen durchführen die man
> selbst wählt? Oder kann man das wirklich einfach nur mit
> den Angaben?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 23.01.2011 | | Autor: | Shoegirl |
| Aufgabe | Gegeben seien 2 streng monotone Funktionen
f: Df -> Wf und g: Dg -> Wg
mit Wg [mm] \subset [/mm] Df ,Df, Dg, Wf, Wg Intervalle. Wie verhält sich (f [mm] \circ [/mm] g), wenn gilt:
(i) f monoton wachsend und g monoton wachsend, |
Hi,
also die Lösungen habe ich. Die bringt mir halt nichts, weil ich nicht verstehe wie man dort hin kommt.
Woher weißt du denn das der Defintionsbereich Dg und der Wertebereich Wf ist?
Und wie bist du darauf gekommen, dass x<y sein muss, damit das ganze monoton wächst? Sind das so Grundregeln die man einfach wissen sollte?
danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien 2 streng monotone Funktionen
> f: Df -> Wf und g: Dg -> Wg
> mit Wg [mm]\subset[/mm] Df ,Df, Dg, Wf, Wg Intervalle. Wie verhält
> sich (f [mm]\circ[/mm] g), wenn gilt:
> (i) f monoton wachsend und g monoton wachsend,
> Hi,
> also die Lösungen habe ich. Die bringt mir halt nichts,
> weil ich nicht verstehe wie man dort hin kommt.
> Woher weißt du denn das der Defintionsbereich Dg und der
> Wertebereich Wf ist?
Mach Dir klar, was für eine Funktion die Verkettung f [mm] \circ [/mm] g ist !!!. Wie und wo ist diese Funktion def. ?
> Und wie bist du darauf gekommen, dass x<y sein muss, damit
> das ganze monoton wächst? Sind das so Grundregeln die man
> einfach wissen sollte?
Wann nent man eine Funktion h monoton wachsend ? Wie lautet die Definition ?
FRED
> danke schonmal
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Hallo Shoegirl,
Fred hat in seiner Antwort das Wichtigste schon gesagt.
Nur noch eine Bemerkung:
> Nehmen wir die Zahlen aus deinem Beispiel, hätte
> man doch f(g)= [mm]2^x *(x^3)[/mm] . ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Auch eine schwierige Funktion...
Ich hatte vorgeschlagen:
Um dir das Ganze klar zu
machen, mach dir vielleicht mal ein Beispiel, etwa mit den
Funktionen [mm] g:x\mapsto{x^3} [/mm] und [mm] f:x\mapsto{2^x}
[/mm]
Dann ist $\ [mm] (f\circ{g})(x)\ [/mm] =\ f(g(x))\ =\ [mm] f(x^3)\ [/mm] =\ [mm] 2^{(x^3)}$
[/mm]
Das Beispiel war nur dazu gedacht, dass du wenigstens
an einem konkreten Beispiel etwas herumspielst, um
zu sehen, was mit der Aufgabe eigentlich gemeint ist.
Für den Beweis halte dich an Freds Tipp.
LG Al-Chw.
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