Monotonie einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuche die Folge
[mm] $x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} [/mm] 1/i $
auf Monotonie. |
Der Ansatz wäre
[mm] $x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n}$
[/mm]
ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.
[mm] \summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i [/mm] - [mm] \summe_{i=n}^{2n}1/i [/mm]
Wie kann ich das weiter umformen?
Ist z B
[mm] \summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i [/mm] = [mm] \summe_{i=n}^{2n}1/i [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(n+2)} [/mm] ?
Ich komme mit den ganzen Indizes und (Partial)Summen nicht klar.
Wie geht man da am besten ran?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Do 28.08.2014 | | Autor: | abakus |
> Untersuche die Folge
> [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i [/mm]
> auf Monotonie.
> Der Ansatz wäre
>
> [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]
>
> ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]
>
> Wie kann ich das weiter umformen?
>
> Ist z B
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm] ?
Ja.
Und [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] kannst du durch Abtrennen des ersten Summanden als [mm]1/n+\summe_{i=n+1}^{2n}1/i[/mm] schreiben.
Gruß Abakus
>
>
> Ich komme mit den ganzen Indizes und (Partial)Summen nicht
> klar.
>
> Wie geht man da am besten ran?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:29 Do 28.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Untersuche die Folge
> > [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i[/mm]
> > auf Monotonie.
> > Der Ansatz wäre
> >
> > [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]
> >
> > ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton
> fallend.
> >
> > [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]
> >
> > Wie kann ich das weiter umformen?
> >
> > Ist z B
> >
> > [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] +
> > [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm] ?
> Ja.
nein. Linkerhand startet er bei [mm] $i=n+1\,,$ [/mm] rechterhand aber bei [mm] $i=n\,.$ [/mm] Rechts
steht so also der Summand [mm] $1/n\,$ [/mm] einmal zu oft da!
Außerdem sollte anstatt
[mm] $\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}$
[/mm]
dort auch
[mm] $\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$
[/mm]
stehen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 28.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuche die Folge
> [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i [/mm]
> auf Monotonie.
> Der Ansatz wäre
>
> [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]
>
> ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]
>
> Wie kann ich das weiter umformen?
>
> Ist z B
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm] ?
nein, da sind Dir mehrere Fehler unterlaufen:
[mm] $\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i=\red{-\;\frac{1}{n}}+\sum_{i=\red{n}}^{2n}\frac{1}{i}+\red{\frac{1}{2n+1}}+\red{\frac{1}{2n+2}}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Do 28.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuche die Folge
> [mm]x_{n}=\summe_{i=n}^{2n} 1/i [/mm]
> auf Monotonie.
> Der Ansatz wäre
>
> [mm]x_{n+1} - x_{n}[/mm]
>
> ist dies z B <0, so ist die Folge streng monoton fallend.
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] - [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm]
>
> Wie kann ich das weiter umformen?
>
> Ist z B
>
> [mm]\summe_{i=n+1}^{2(n+1)}1/i[/mm] = [mm]\summe_{i=n}^{2n}1/i[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+1)}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2(n+2)}[/mm] ?
ich verstehe nie, warum, wenn sich jemand bei einer Umformung mit dem
Summen- oder Produktzeichen nicht sicher ist(!), man nicht einfach mal mit
einem (einfachen) Zahlenbeispiel den Sinngehalt seiner Umformung prüft.
Nehmen wir mal [mm] $n=2\,:$
[/mm]
Linke Seite bei Deiner behaupteten Gleichung ergibt:
[mm] $\sum_{i=3}^{2*3} \frac{1}{i}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$
[/mm]
Rechte Seite:
[mm] $\sum_{i=\red{2}}^{4}\frac{1}{i}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{2*4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}$
[/mm]
Sieht das identisch aus???
Also zurück zur Aufgabe:
[mm] $\sum_{i=n+1}^{2(n+1)}\frac{1}{i}-\sum_{i=n}^{2n}\frac{1}{i}=\sum_{i=n+1}^{2n+2}\frac{1}{i}-\sum_{i=n}^{2n}\frac{1}{i}=(\sum_{i=n+1}^{2n} \tfrac{1}{i}\;+\tfrac{1}{2n+1}+\tfrac{1}{2n+2})-(\tfrac{1}{n}\;+\sum_{i=n+1}^{2n}\tfrac{1}{i})$
[/mm]
Um's noch deutlicher zu machen: Mit [mm] $S:=\sum_{i=n+1}^{2n} \tfrac{1}{n}$ [/mm] steht dort
[mm] $...=(S+\tfrac{1}{2n+1}+\tfrac{1}{2n+2})-(\tfrac{1}{n}+S)\,.$
[/mm]
Du siehst also (hoffentlich?), dass Du Dich nur noch fragen musst: Gilt für
(alle relevanten!) [mm] $n\,$ [/mm] eine Beziehung
[mm] $\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n} \text{ \red{?} }$ $0\,$
[/mm]
mit einem (festen) [mm] $\text{\red{?}} \in \{<,\;\le,\;>,\;\ge\}$? [/mm]
P.S. "Eins" bedeutet hier, wie meist in der Mathematik, "mindestens eins"!
P.P.S.
[mm] $\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n(2n+1)+n(2n+2)-(2n+1)(2n+2)}{n(2n+1)(2n+2)}$
[/mm]
Der Nenner ist hier sicher stets $> [mm] 0\,$ [/mm] für $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] das Vorzeichen des
Bruches wird also nur durch das Vorzeichen des Zählers bestimmt. Rechne
den mal weiter aus und denke drüber nach, welches Vorzeichen er hat!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
