Monotonie von Funktionen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Fr 23.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
es geht um die Monotonieeigenschaften von Funktionen. Dabei geht es überwiegend erstmal um ganzrationale Funktionen 2. Grades, aber vielleicht lässt sich die Frage ja auch auf andere Typen der Funktion ausweiten.
Undzwar würde ich gerne wissen, ob man grundsätzlich Aussagen über die Monotonieeigenschaften von Funktionen treffen kann, ohne die Differenzialrechnung zur Hilfe zu nehmen.
Beispielsweise lässt sich ja über $\ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $ sagen, dass die Funktion im Intervall $\ ] - [mm] \infty,\ [/mm] 0 ] $ streng monoton fallend und im Intervall $\ [0,\ [mm] \infty [/mm] [ $ streng monoton steigend ist.
Und offensichtlich wird hier der Scheitelpunkt, bzw die Lösung der Gleichung $\ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $ herangezogen, um die Intervallränder bestimmen zu können um dann prüfen zu können, ob die Funktion monoton steigend oder monoton fallend ist.
Nun heisst es in meinem Buch:
"Ist $\ y = f(x) $ streng monoton steigend (fallend), so existiert die Umkehrfunktion $\ y = [mm] f^{-1}(x) [/mm] $ und ist ebenfalls streng monoton steigend (fallend) "
Und in den Übungen soll ich die Monotonieeigenschaften sowie die Teilumkehrfunktion von
$\ y = [mm] x^2 [/mm] -4x + 5 $ angeben
Man sieht schnell, dass beim Versuch, diese Gleichung zu lösen, unter der Diskriminante ein negativer Wert entsteht, der keine reellen Lösungen zur Folge hat.
Wie kann ich nun, ohne Differenzieren zu müssen, die Monotonieeigenschaften dieser Funktion bestimmen? Ich gehe davon aus, dass hier nicht nach einer komplexen Lösung gefragt ist.
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich würde sagen, dass es z.B. ab ganzrationalen Funktionen 3. Grades schwierig wird, etwas ohne Ableitungen zu zeigen. Spontan würde mir einfallen sowas zu zeigen wie f(x)>f(x+h), h>0 um zu zeigen, dass eine Funktion Monoton fällt. Aber schon bei höhergradigen Polynomen kannst du das auch vergessen.
Wirklich einfach ist es nur bei Geraden und quadratischen Funktionen (zumindest aus der Familie der Polynome).
Von quadratischen Funktionen weißt du ja, wie sie verlaufen. Hast du den Scheitelpunkt, kannst du das sofort sagen, da die Monotonie sich ja an Extrempunkten umdreht (zumindest bei den "einfachen" Funktionen).
Aber wie gesagt, ich behaupte, dass es keine (einfache) Möglichkeit gibt, andere Funktionen auf Monotonie zu untersuchen, außer man hat Schaubilder und Extrempunkte angegeben.
Und zu der Umkehrfunktion:
Was bekommst du denn raus?
Ich habe [mm] x_{1;2}=2 \pm \wurzel(y-1) [/mm] raus. Ist eben nur für y [mm] \ge [/mm] 1 definiert (damit könnte man schon darauf schließen, dass der Scheitelpunkt die y-Koordinate 1 hat). Aber damit das Monotonieverhalten hier zu bestimmen würde ich etwas umständlich finden.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 23.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Teufel!
ich hatte ähnliche Bedenken, was die Monotonie von höhergradigen Polynomen betrifft, wie du.
Vielen Dank diesbezüglich für deine Antwort.
Bei meiner Lösung von $\ y = [mm] x^2 [/mm] -4x + 5 $ lautete der letzte Rechenschritt
$\ [mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {4 [mm] \pm \wurzel{16-20}}{2} [/mm] $
wie lös ich das Ganze hier weiter auf? Bin mir nicht mehr sicher, was mit dem negativen Ausdruck in der Diskriminante anzustellen ist.
Gruß
ChopSuey
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Hallo,
[mm] \\x^{2}-4x+5 [/mm] besitz keine Nullstellen in [mm] \IR [/mm] wohl aber in [mm] \IC.
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{4}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{4}{2}\right)^{2}-5}=2\pm\wurzel{-1}=2\pm\wurzel{i^{2}}=2\pm\\i
[/mm]
Damit:
[mm] x_{1}=2+i \wedge x_{2}=2-i
[/mm]
Du kannst aber [mm] \\x^{2}-4x+5 [/mm] umformen zu [mm] \\(x-2)^{2}+1
[/mm]
Nun kannst du den Scheitelpunkt leicht ablesen und weisst also wo die Funktion steigt und wo fällt 
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Fr 23.01.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tyskie,
das hab ich ganz ausser Acht gelassen! Vielen Dank!
Hab' das Ganze irgendwie nur auf Lösungen, also Nullstellen, bezogen, nicht aber auf den Scheitelpunkt, der ja eigentlich das einzig relevante in dieser Aufgabe darstellt.
Viele Grüße
ChopSuey
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