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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] (total diffbare Fkt.) und [mm] g:\IR^n \to \IR^n [/mm] ein total diffbares Vektorfeld.
Zeige, dass für alle i gilt:
1. [mm] \bruch{\delta}{\delta x_i}(f\circ g)(x)=\summe_{j=1}^{n}\delta_jf(g(x))\bruch{\delta g_i(x)}{\delta x_i}
[/mm]
2. [mm] f:\IR^3 \to \IR, x\to |x|^2 [/mm] und [mm] g:\IR^3\to \IR^3, (r,\phi, \theta)\to (rcos\phi sin\theta, rsin\phi [/mm] sin [mm] \theta, rcos\theta)^T
[/mm]
berechne mit 1) [mm] \delta_r(f\circ [/mm] g), [mm] \delta_\phi(f\circ [/mm] g) und [mm] \delta_\theta(f\circ [/mm] g) |
Hier scheitere ich sowohl an Teil 1) und 2)
Könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen?
Das müsste die Kettenregel sein die hier zu zeigen ist,wenn ich mich nicht täusche.
Bei 2) habe ich die Funktion [mm] f(r,\phi, \theta)=\vektor{rcos\phi sin\theta \\ rsin\phi sin \theta \\ rcos\theta}
[/mm]
[mm] \delta_r(f\circ [/mm] g) hier muss nach r abgeleitet werden. Ich weiß allerdings nicht wie das funktioniert da das [mm] |x|^2 [/mm] noch gegeben ist.
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 So 13.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR^n \to \IR[/mm] (total diffbare Fkt.) und [mm]g:\IR^n \to \IR^n[/mm]
> ein total diffbares Vektorfeld.
>
> Zeige, dass für alle i gilt:
>
> 1. [mm]\bruch{\delta}{\delta x_i}(f\circ g)(x)=\summe_{j=1}^{n}\delta_jf(g(x))\bruch{\delta g_i(x)}{\delta x_i}[/mm]
>
> 2. [mm]f:\IR^3 \to \IR, x\to |x|^2[/mm] und [mm]g:\IR^3\to \IR^3, (r,\phi, \theta)\to (rcos\phi sin\theta, rsin\phi[/mm]
> sin [mm]\theta, rcos\theta)^T[/mm]
>
> berechne mit 1) [mm]\delta_r(f\circ[/mm] g), [mm]\delta_\phi(f\circ[/mm] g)
> und [mm]\delta_\theta(f\circ[/mm] g)
> Hier scheitere ich sowohl an Teil 1) und 2)
>
> Könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen?
> Das müsste die Kettenregel sein die hier zu zeigen
> ist,wenn ich mich nicht täusche.
Ja, anwenden sollst Du sie.
>
>
> Bei 2) habe ich die Funktion [mm]f(r,\phi, \theta)=\vektor{rcos\phi sin\theta \\ rsin\phi sin \theta \\ rcos\theta}[/mm]
>
> [mm]\delta_r(f\circ[/mm] g) hier muss nach r abgeleitet werden. Ich
> weiß allerdings nicht wie das funktioniert da das [mm]|x|^2[/mm]
> noch gegeben ist.
Es ist [mm] f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2
[/mm]
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:46 So 13.05.2012 | | Autor: | heinze |
ich komme hier nicht weiter. Könnt ihr mir das an dem erste Beispiel [mm] \delta_r [/mm] zeigen? Das ich das prinzip verstehe.
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 17.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 So 20.05.2012 | | Autor: | davux |
Den ersten Teil hatten wir schon mehr oder weniger in der Vorlesung (Satz 5.5 Kettenregel und 5.6 Beispiel). In einem Beispiel tauchte genau dieselbe Gleichung auf. Es ist im Grunde garkein Problem stumpf die Gleichung zu beweisen.
Der zweite Teil bezieht sich eigentlich direkt auf die Anwendung. Nur liegt im ersten Teil noch ein Resultat, was man sich zu Nutze machen kann. Desweiteren lohnt es sich die Summen aus Produkten der trigonotrischen Funktionen noch zu vereinfachen. Dann wird es sehr einfach und die Rechnung läuft praktisch über den Gradienten.
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Ist eigentlich [mm] \bruch{\delta}{\delta x_i} [/mm] äquivalent zu [mm] \delta_i? [/mm]
Zu ii)
Ist es richtig, dass man zuerst g(x) in f einsetzt und dann nach r, [mm] \Phi [/mm] und O ableitet, diese jeweils mit der Ableitung von g(x) an der selben Stelle multipliziert und anschließend addiert? Das besagt ja die Formel. Das scheint mir nämlich ziemlich lang zu werden.
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Ich schreibe mal die Ableitung nach r auf für den ersten Summanden auf:
(2 [mm] cos^2 [/mm] r [mm] \[Omega]^2 [/mm] + 2 [mm] cos^2 [/mm] r [mm] sin^2(\[Phi])^2 \[Omega]^2 [/mm] +
2 r [mm] sin^4(\[Phi])^2 \Omega^2)*(cos(\phi)*sin(\omega))+...
[/mm]
Es gilt ja: [mm] f(g(x))=(r*cos(\phi)*sin(\omega))^2+r*sin(\phi)*sin(\omega))^2+(r*cos(\omega))^2.
[/mm]
Zuerst habe ich also die Ableitung von f(g(x)) nach r gebildet, was den ersten Faktor ergibt. Dann noch mit der Ableitung der 1. Komponente von g(x) multipliziert. Aber irgendwie beschleicht mich das Gefühl, das ist falsch. Wie ist denn diese Formel anzuwenden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 22.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Di 22.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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