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| Aufgabe | Zeige auf zwei Arten, dass alle Lösungen [mm] u\in{}C^2(K_r(0))\cap{}C^1(\overline{K_r(0)}) [/mm] des Neumannproblems
[mm] -\Delta{u}=0 [/mm] in [mm] K_r(0)
[/mm]
[mm] \frac{\partial u}{\partial\nu}=0 [/mm] auf [mm] \partial{K_r(0)}
[/mm]
konstant sind. |
Hallo Freunde der partiellen Differentialgleichungen,
obiges beschäftigt mich derzeit. Ich habe zwei mögliche Arten gesucht und bin zu folgenden Ideen gekommen, die ich weder richtig verifzieren noch falsifizieren kann. Vielleicht kann mir jemand mitteilen, ob die Ideen in die richtige Richtung gehen.
[mm] \textbf{1. Variante - direkt}
[/mm]
Wir nutzen das Minimum-Maximum-Prinzip. Das besagt: Ist [mm] \Delta{u}\ge0 [/mm] im Innern des Gebiets so nimmt die Funktion u das das Maximum auf dem Rand an.
Gleichzeitig gilt aber: Ist [mm] \Delta{u}\le0 [/mm] im Innern des Gebiets, so nimmt die Funktion u das das Minimum auf dem Rand an.
Jetzt müsste die Begründung folgen, dass u dann auch konstant ist. Das gelingt mir aber nicht.
=> Kein schöner Ansatz
[mm] \textbf{2. Variante - indirekt}
[/mm]
Angenommen u ist nicht konstant auf [mm] K_r(0). [/mm] Dann ist [mm] \nabla{u}(x)>0 [/mm] und/oder [mm] \nabla{u}<0 [/mm] für [mm] x\in{K_r(0)}. [/mm] Damit hätte u ein Minimum und/oder ein Maximum in [mm] K_r(0). [/mm] Wegen dem Maximumprinzip und da u harmonisch ist, nimmt aber u das Maximum/Minimum auf [mm] K_r(0) [/mm] nicht an. Somit Widerpsruch, also [mm] \nabla{u}=0, [/mm] d.h. u=const. Wegen Stetigkeit ist dann auch u(x)=const auf dem Rand.
Wäre super, wenn jemand seine Meinung dazu preis gibt.
Vielen Dank und schönen Dienstag wünsch ich euch.
P.S.:
Es gibt sicherlich gute Standardliteratur für PDGLs. Gibt es Empfehlungen eurerseits? Ich wäre daran interessiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Mi 05.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
was ist [mm] $K_r(0)$? [/mm] Kugel mit Radius r?
Der einfachste Weg wäre wohl die Laplace-Gleichung mit u zu multiplizieren und zu integrieren.
Liebe Grüße
p.s.: L.C. Evans, PDE
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