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Nicht-trivialer Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 17.05.2020
Autor: Andrea97

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



Guten Abend,

ich habe Schwierigkeiten, den Beweis des folgenden Satzes zu verstehen.


Satz
___


Sei $G$ eine endliche Gruppe und $p$ der kleinste Primteiler der Gruppenordnung.

Die Gruppe $G$ habe einen Normalteiler $N$ der Ordnung $p$.

Dann hat $G$ ein nicht-triviales Zentrum.



Beweis
______



Da $N [mm] \trianglelefteq [/mm] G$, ist die folgende Operation wohldefiniert:



[mm] $\*: [/mm] G [mm] \times [/mm] N [mm] \rightarrow [/mm] N, (g, n) [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \* [/mm] n = [mm] gng^{-1}$ [/mm]


Sei nun $R [mm] \subseteq [/mm] N$ ein Repräsentantensystem der Bahnen von $N$ und $F$ die Menge der Fixpunkte von $G$


Dann gilt nach der Bahnengleichung

[mm] $\vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] = [mm] \sum\limits_{r \in R} \frac{\vert G \vert}{\vert Stab(r) \vert} [/mm] = [mm] \vert [/mm] F [mm] \vert [/mm] + [mm] \sum\limits_{r \in R \setminus F} \frac{\vert G \vert}{\vert Stab(r) \vert} [/mm] =  [mm] \vert [/mm] F [mm] \vert [/mm] + [mm] \sum\limits_{r \in R \setminus F} \vert [/mm] G: Stab(r) [mm] \vert$ [/mm]


Da $r [mm] \in R\setminus [/mm] F$ kein Fixpunkt ist, gilt [mm] $\vert [/mm] Stab(r) [mm] \vert [/mm] < [mm] \vert [/mm] G [mm] \vert$. [/mm]

Also sind die Summanden [mm] $\vert [/mm] G: Stab(r) [mm] \vert [/mm] $ Teiler von $G$, die echt größer als Eins sind.

Da nach Voraussetzung $p$ der kleinste Teiler der Gruppenordnung ist, folgt $ [mm] \vert [/mm] G: Stab(r) [mm] \vert \ge [/mm] p$.


Da aber nach Voraussetzung [mm] $\vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] = p$ gilt, folgt $R = [mm] \emptyset$. [/mm]

Die Menge aller Fixpunkte lässt sich darstellen als $F = N [mm] \cap [/mm] Z(G)$, denn


$x [mm] \in [/mm] F [mm] \subset [/mm] N [mm] \Leftrightarrow \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: g [mm] \* [/mm] x = g x [mm] g^{- 1} [/mm] = x [mm] \Leftrightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] Z(G) [mm] \cap [/mm] N$.


Da $R = [mm] \emptyset$ [/mm] folgt $N = F = N [mm] \cap [/mm] Z(G)$.

Folglich gilt $N [mm] \subseteq [/mm] Z(G)$.

Da aber [mm] $\vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] = p > 1$, enthält $Z(G)$ mehr als ein Element, ist also nicht trivial.





Hier verwirren mich ein paar Sachen.




Im Beweis steht "Da nach Voraussetzung $p$ der kleinste Teiler der Gruppenordnung ist, folgt $ [mm] \vert [/mm] G: Stab(r) [mm] \vert \ge [/mm] p$."



Aber nach Voraussetzung ist $p$ nur der kleinste Primteiler der Gruppenordnung. Also die kleinste Primzahl, die die Gruppenordnung teilt.

Es kann aber auch eine kleinere Nicht - Primzahl geben, die die Gruppenordnung teilt, oder nicht ?

Warum sagt man hier also, dass $p$ der kleinste Teiler ist ?


Wie sollte ich das genau verstehen ?




Und warum folgt $R = [mm] \emptyset$, [/mm] wenn [mm] $\vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] = p$ gilt ?

Und wie folgert man aus $R = [mm] \emptyset$, [/mm] dass $N = F = N [mm] \cap [/mm] Z(G)$ gilt  ?



Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Liebe Grüße,

Andrea



        
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 So 17.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber nach Voraussetzung ist [mm]p[/mm] nur der kleinste Primteiler
> der Gruppenordnung. Also die kleinste Primzahl, die die Gruppenordnung teilt.
>  
> Es kann aber auch eine kleinere Nicht - Primzahl geben, die die Gruppenordnung teilt, oder nicht?

Nein.
Denn diese "Nicht - Primzahl" wäre aus kleineren Primzahlen zusammengesetzt, die dann ebenfalls die Gruppenordnung teilen würden. Dies wäre ein Widerspruch.

> Und warum folgt [mm]R = \emptyset[/mm], wenn [mm]\vert N \vert = p[/mm] gilt?

Ich würde behaupten, dass nur $F [mm] \setminus [/mm] R = [mm] \emptyset$ [/mm] folgt und würde sogar behaupten, dass [mm] $R\not=\emptyset$ [/mm] zwingendermaßen gelten muss, da meines Wissens nach ein Repräsentantensystem immer existiert…
Da meine Algebra-Kenntnisse etwas eingerostet sind, lass ich die Frage mal halbbeantwortet stehen…

Wäre zumindest $F [mm] \setminus [/mm] R [mm] \not=\emptyset$ [/mm] so wäre nach dem gesagten:

$ [mm] \vert [/mm] N [mm] \vert [/mm] =  [mm] \vert [/mm] F [mm] \vert [/mm] + [mm] \sum\limits_{r \in R \setminus F} \vert [/mm] G: Stab(r) [mm] \vert \ge [/mm]  |F| + p > p$, was ein Widerspruch wäre.
  

> Und wie folgert man aus [mm]R = \emptyset[/mm], dass [mm]N = F = N \cap Z(G)[/mm] gilt  ?

Aus der Bahnformel folgt dann mit obiger Überlegung $|N| = |F|$ und daraus sowie mit $F [mm] \subseteq [/mm] N$  folgt N = F = N [mm] \cap [/mm] Z(G)$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Zustimmung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:50 Mo 18.05.2020
Autor: statler

Guten Morgen!

> > Und warum folgt [mm]R = \emptyset[/mm], wenn [mm]\vert N \vert = p[/mm]
> gilt?
>  Ich würde behaupten, dass nur [mm]F \setminus R = \emptyset[/mm]
> folgt und würde sogar behaupten, dass [mm]R\not=\emptyset[/mm]
> zwingendermaßen gelten muss, da meines Wissens nach ein
> Repräsentantensystem immer existiert…

So isses. Wäre $R = [mm] \emptyset$, [/mm] dann wäre das erste Gleichheitszeichen in deiner Bahnengleichung falsch (|N| = 0).

Gruß
Dieter


Bezug
                        
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 Di 19.05.2020
Autor: Andrea97

Stimmt, darauf hätte ich kommen können...



Vielen Dank für die Antwort!


lg, Andrea

Bezug
                
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:49 Di 19.05.2020
Autor: Andrea97

Guten Morgen.


> Hiho,
>  
> > Aber nach Voraussetzung ist [mm]p[/mm] nur der kleinste Primteiler
> > der Gruppenordnung. Also die kleinste Primzahl, die die
> Gruppenordnung teilt.
>  >  
> > Es kann aber auch eine kleinere Nicht - Primzahl geben, die
> die Gruppenordnung teilt, oder nicht?
>  Nein.
>  Denn diese "Nicht - Primzahl" wäre aus kleineren
> Primzahlen zusammengesetzt, die dann ebenfalls die
> Gruppenordnung teilen würden. Dies wäre ein Widerspruch.


Ach jetzt... Okay, das ist mir nun klar. Hatte an der Primfaktorzerlegung nicht gedacht. Dankeschön!

> > Und warum folgt [mm]R = \emptyset[/mm], wenn [mm]\vert N \vert = p[/mm]
> gilt?
>  Ich würde behaupten, dass nur [mm]F \setminus R = \emptyset[/mm]
> folgt und würde sogar behaupten, dass [mm]R\not=\emptyset[/mm]
> zwingendermaßen gelten muss, da meines Wissens nach ein
> Repräsentantensystem immer existiert…
>  Da meine Algebra-Kenntnisse etwas eingerostet sind, lass
> ich die Frage mal halbbeantwortet stehen…

>

Meinst du nicht etwa $R [mm] \setminus [/mm] F = [mm] \emptyset$ [/mm] ?

Dass $F [mm] \setminus [/mm] R = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt, ist  klar, da $F$ eine Teilmenge von $R$ ist.



> Wäre zumindest [mm]F \setminus R \not=\emptyset[/mm] so wäre nach
> dem gesagten:
>  
> [mm]\vert N \vert = \vert F \vert + \sum\limits_{r \in R \setminus F} \vert G: Stab(r) \vert \ge |F| + p > p[/mm],
> was ein Widerspruch wäre.


Ach so, stimmt. Das setzt aber voraus, dass [mm] $\vert [/mm] F [mm] \vert \ge [/mm] 1$.

Woher weiß ich, dass $F$ nicht leer ist ?


>    
> > Und wie folgert man aus [mm]R = \emptyset[/mm], dass [mm]N = F = N \cap Z(G)[/mm]
> gilt  ?
>  Aus der Bahnformel folgt dann mit obiger Überlegung $|N|
> = |F|$ und daraus sowie mit $F [mm]\subseteq[/mm] N$  folgt N = F =
> N [mm]\cap[/mm] Z(G)$
> Gruß,
>  Gono


Danke, das macht Sinn!

Da $R [mm] \setminus [/mm] F = [mm] \emptyset$, [/mm] gilt $F = R$.

Das heißt, dass das Repräsentantensystem $R$ nur aus Fixpunkte von $G$ besteht.

Es gilt $F = R [mm] \subseteq [/mm] N$ und mit [mm] $\vert [/mm] F [mm] \vert [/mm] = [mm] \vert [/mm] N [mm] \vert$ [/mm] folgt $F = N$.




Bis auf die Frage, ganz am Anfang, wäre alles klar!


lg, Andrea

Bezug
                        
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Di 19.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meinst du nicht etwa [mm]R \setminus F = \emptyset[/mm] ?

Ja, meinte ich.

> Woher weiß ich, dass [mm]F[/mm] nicht leer ist ?

Ein bisschen nachdenken kannst du schon selbst!
Was bedeutet es, dass ein Element ein Fixpunkt ist?
Wenn man das aufschreibt und sich überlegt, ob es vielleicht ein (triviales) Element gibt, was das erfüllt, ist man schon fast selbst am Ziel…

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Di 19.05.2020
Autor: Andrea97

Hey,


> Hiho,
>  
> > Meinst du nicht etwa [mm]R \setminus F = \emptyset[/mm] ?
>  Ja, meinte ich.
>  
> > Woher weiß ich, dass [mm]F[/mm] nicht leer ist ?
>  Ein bisschen nachdenken kannst du schon selbst!
>  Was bedeutet es, dass ein Element ein Fixpunkt ist?
> Wenn man das aufschreibt und sich überlegt, ob es
> vielleicht ein (triviales) Element gibt, was das erfüllt,
> ist man schon fast selbst am Ziel…
>  
> Gruß,
>  Gono



Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$  auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt $x [mm] \in [/mm] M$ heißt Fixpunkt der Operation, wenn $g x = x$ für alle $g [mm] \in [/mm] G$.

Welches triviale Element soll hier gemeint sein ?

Es ist ja $e x = x$ für alle $x [mm] \in [/mm] G$. Aber das bringt mich ja nicht weiter.



lg, Andrea

Bezug
                                        
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Di 19.05.2020
Autor: statler

Hallo!

> > > Woher weiß ich, dass [mm]F[/mm] nicht leer ist ?
>  >  Ein bisschen nachdenken kannst du schon selbst!
>  >  Was bedeutet es, dass ein Element ein Fixpunkt ist?
> > Wenn man das aufschreibt und sich überlegt, ob es
> > vielleicht ein (triviales) Element gibt, was das erfüllt,
> > ist man schon fast selbst am Ziel…

>
> Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe [mm]G[/mm]  auf einer
> Menge [mm]M[/mm] vor. Ein Punkt [mm]x \in M[/mm] heißt Fixpunkt der
> Operation, wenn [mm]g x = x[/mm] für alle [mm]g \in G[/mm].
>  
> Welches triviale Element soll hier gemeint sein ?
>  
> Es ist ja [mm]e x = x[/mm] für alle [mm]x \in G[/mm]. Aber das bringt mich
> ja nicht weiter.

Vielleicht ist es nicht schlecht, die verschiedenen Operationen auch mit unterschiedlichen Symbolen zu benennen, also für den ganz allgemeinen Fall der Operation einer beliebigen Gruppe G auf einer beliebigen Menge M den Kringel [mm] $\circ$ [/mm] zu nehmen.

In unserem Fall ist G noch allgemein, aber M relativ speziell. Wenn wir dann die Operation in G mit [mm] $\cdot$ [/mm] bezeichen, dann ist $g [mm] \circ [/mm] n = [mm] g^{-1} \cdot [/mm] n [mm] \cdot [/mm] g$. Und jetzt ist ein Fixpunkt, also ein invariantes Element in N gesucht und nicht ein Element aus G, das trivial auf N operiert.

Etwas klarer?
Gruß Dieter

Bezug
                                                
Bezug
Nicht-trivialer Normalteiler: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 17:32 Di 19.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es wäre vllt. gut gewesen, die Notation der Aufgabe zu verwenden.

Dort lautet es: [mm] $g\*n [/mm] = [mm] g^{-1}ng$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
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