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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Der Nilpotenzgrad k gibt an, wie groß der größte Jordanblock zum einem EIgenwert ist. |
Warum gilt diese Aussage?
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Hallo und guten Abend
wir haben also eine Matrix $A$ und es existert ein $k [mm] \in \IN$, [/mm] sodass [mm] $A^{k}=0$, [/mm] wobei $0$ die Nullmatrix bezeichnet.
Welche Eigenwerte hat dann die Matrix $A$? (Das kann man sehr genau sagen).
Und jetzt schauen wir uns mal die Jordanform [mm] $J=T^{-1}AT$ [/mm] an. Wenn du weißt, welche Eigenwerte $A$ hat, wie sieht $J$ dann aus?
Und zu guter letzt überleg dir, wie man Jordanmatrizen potenziert. Schreibt dir doch mal ein kleines Beispiel für eine Matrix in Jordanform hin und rechne davon mal die zweite Potenz aus. Dann sieht man eigentlich recht schnell, wie der Hase läuft.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Lu- |
> wir haben also eine Matrix $ A $ und es existert ein $ k [mm] \in \IN [/mm] $, sodass $ [mm] A^{k}=0 [/mm] $, wobei $ 0 $ die Nullmatrix bezeichnet.
> Welche Eigenwerte hat dann die Matrix $ A $? (Das kann man sehr genau sagen).
Sei A nilpotente Matrix mit Nilpotenindex k, [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, v ein Eigenvektor zu [mm] \\lambda.
[/mm]
Dann ist A*v = [mm] \lambda [/mm] v und 0 = [mm] A^k [/mm] v = [mm] \lambda^k [/mm] v. Wegen v [mm] \not= [/mm] 0 folgt [mm] \lambda^n [/mm] = 0.
> Und jetzt schauen wir uns mal die Jordanform $ [mm] J=T^{-1}AT [/mm] $ an. Wenn du weißt, welche Eigenwerte $ A $ hat, wie sieht $ J $ dann aus?
Die Jordanform hat in der Diagonale nur 0-en und in der Nebendiagonale wie immer 1 oder 0.
> wie man Jordanmatrizen potenziert.
Ist A ähnlich zur Jordan normalform, so gibt es eine Transformationsmatrix T mit $ [mm] A=T^{-1}JT [/mm] $ und dann potenziert man A indem man $ [mm] T^{-1}J^{n}T. [/mm] $ rechnet.
d.h. man potenziert nur die diagonaleinträge
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> > wir haben also eine Matrix [mm]A[/mm] und es existert ein [mm]k \in \IN [/mm],
> sodass [mm]A^{k}=0 [/mm], wobei [mm]0[/mm] die Nullmatrix bezeichnet.
>
> > Welche Eigenwerte hat dann die Matrix [mm]A [/mm]? (Das kann man
> sehr genau sagen).
> Sei A nilpotente Matrix mit Nilpotenindex k, [mm]\lambda[/mm] ein
> Eigenwert von A, v ein Eigenvektor zu [mm]\\
lambda.[/mm]
> Dann ist A*v = [mm]\lambda[/mm] v und 0 = [mm]A^k[/mm] v = [mm]\lambda^k[/mm] v.
> Wegen v [mm]\not=[/mm] 0 folgt [mm]\lambda^n[/mm] = 0.
>
> > Und jetzt schauen wir uns mal die Jordanform [mm]J=T^{-1}AT[/mm] an.
> Wenn du weißt, welche Eigenwerte [mm]A[/mm] hat, wie sieht [mm]J[/mm] dann
> aus?
> Die Jordanform hat in der Diagonale nur 0-en und in der
> Nebendiagonale wie immer 1 oder 0.
>
> > wie man Jordanmatrizen potenziert.
> Ist A ähnlich zur Jordan normalform, so gibt es eine
> Transformationsmatrix T mit [mm]A=T^{-1}JT[/mm] und dann potenziert
> man A indem man [mm]T^{-1}J^{n}T.[/mm] rechnet.
Hallo,
so weit ist das richtig.
> d.h. man potenziert nur die diagonaleinträge
Du redest sicher von den Diagonaleinträgen von J.
Das stimmt nicht.
Hast Du denn mal JNFen potenziert?
LG Angela
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