Normalteiler, Index 2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $G$ eine Gruppe und [mm] $U\subseteq [/mm] G$ Untergruppe vom Index $[G:U]=2$.
Zeige: $U$ ist Normalteiler von $G$. |
Hallo,
ich möchte obige Aussage beweisen.
Da $[G:U]=2$ gibt es zwei Linksnebenklassen und zwei Rechtsnebenklassen, die $G$ partitionieren.
$U$ ist stets selbst eine Nebenklasse, wegen $eU=U$. Daher muss die andere Nebenklasse bereits [mm] $G\setminus [/mm] U$ sein, also
[mm] $G=U\cup G\setminus [/mm] U$.
Um zu zeigen, dass $U$ ein Normalteiler ist, muss [mm] $g^{-1}Ug\subseteq [/mm] U$ für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gelten.
1. Fall: [mm] $g\in [/mm] U$ ist trivial, denn wegen [mm] $g\in [/mm] U$, ist auch [mm] $g^{-1}\in [/mm] U$. Somit [mm] $g^{-1}ug\in [/mm] U$ und daher [mm] $g^{-1}Ug\subseteq [/mm] U$.
2. Fall: [mm] $g\in G\setminus [/mm] U$
Hier komme ich leider nicht weiter.
Hat hier jemand einen Tipp, oder sollte man anders ansetzen?
Vielen Dank im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 So 17.07.2016 | | Autor: | hippias |
Du hast bisher gezeigt, die Linksnebenklassen auch Rechtsnebenklassen sind und umgekehrt. Daraus folgt die Behauptung.
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Wo habe ich das gezeigt?
Ich weiß, dass es zwei Linksnebenklassen und zwei Rechtsnebenklassen gibt.
Es gibt nur eine Möglichkeit wie diese aussehen können. Eben $U$ und [mm] $G\setminus [/mm] U$.
Damit ist also $U$ und [mm] $G\setminus [/mm] U$ sowohl Links- als auch Rechtsnebenklasse.
Könnte man dann den ausstehenden Beweis von Fall 2 so lösen, dass hatte ich nämlich so ähnlich probiert.
[mm] $g^{-1}ug$ [/mm] nun liegt [mm] $g^{-1}u$ [/mm] in einer Linksnebenklasse und somit auch in einer Rechtsnebenklasse. Also kann man es umschreiben [mm] $g^{u}=u'g^{-1}$ [/mm] für ein [mm] $u'\in [/mm] U$. Somit
[mm] $u'g^{-1}g=u'$, [/mm] also [mm] $g^{-1}ug\in [/mm] U$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 17.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Wo habe ich das gezeigt?
In Deiner ersten Nachricht. Und nocheinmal in den nachfolgenden Zeilen. Ist Deine Frage damit beantwortet?
> Ich weiß, dass es zwei Linksnebenklassen und zwei
> Rechtsnebenklassen gibt.
> Es gibt nur eine Möglichkeit wie diese aussehen können.
> Eben [mm]U[/mm] und [mm]G\setminus U[/mm].
>
> Damit ist also [mm]U[/mm] und [mm]G\setminus U[/mm] sowohl Links- als auch
> Rechtsnebenklasse.
>
> Könnte man dann den ausstehenden Beweis von Fall 2 so
> lösen, dass hatte ich nämlich so ähnlich probiert.
>
> [mm]g^{-1}ug[/mm] nun liegt [mm]g^{-1}u[/mm] in einer Linksnebenklasse und
> somit auch in einer Rechtsnebenklasse. Also kann man es
> umschreiben [mm]g^{u}=u'g^{-1}[/mm] für ein [mm]u'\in U[/mm]. Somit
>
> [mm]u'g^{-1}g=u'[/mm], also [mm]g^{-1}ug\in U[/mm].
Das mag beurteilen wer es verstehen kann.
Es ist [mm] $g\in G\setminus [/mm] U$. Welchen Nebenklasse ist $gU$ und welche $Ug$? Folgere daraus die Gleichheit.
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