Normalteiler, Isomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Es seien [mm] G_1 [/mm] ,.., [mm] G_n [/mm] Gruppen und [mm] N_i [/mm] Normalteiler von [mm] G_i [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n. Beweisen SIe dass [mm] N_1 \times [/mm] .. [mm] \times N_n [/mm] Normalteiler [mm] G_1 \times [/mm] .. [mm] \times G_n [/mm] und dass
[mm] (G_1 \times [/mm] .. [mm] \times G_N) /(N_1 \times [/mm] .. [mm] \times N_n) \cong (G_1 /N_1) \times [/mm] .. [mm] \times (G_n/N_n) [/mm] |
Das erste habe ich nun fehlt mir:
[mm] (G_1 \times [/mm] .. [mm] \times G_N) /(N_1 \times [/mm] .. [mm] \times N_n) \cong (G_1 /N_1) \times [/mm] .. [mm] \times (G_n /N_n)
[/mm]
Wie mache ich das? Hab da leider keinen Plan...?
Wir haben mal defeniert:
[mm] G_1 [/mm] x .. x [mm] G_n [/mm] = G
mit Verknüpfung [mm] (a_1 [/mm] ,.., [mm] a_n) (b_1 [/mm] ,.., [mm] b_n)= (a_1 b_1 [/mm] ,.., [mm] a_n b_n) [/mm] ist eine Gruppe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 02.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien [mm]G_1[/mm] ,.., [mm]G_n[/mm] Gruppen und [mm]N_i[/mm] Normalteiler von [mm]G_i[/mm]
> für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n. Beweisen SIe dass [mm]N_1 \times[/mm] .. [mm]\times N_n[/mm]
> Normalteiler [mm]G_1 \times[/mm] .. [mm]\times G_n[/mm] und dass
> [mm](G_1 \times[/mm] .. [mm]\times G_N) /(N_1 \times[/mm] .. [mm]\times N_n) \cong (G_1 /N_1) \times[/mm]
> .. [mm]\times (G_n/N_n)[/mm]
> Das erste habe ich nun fehlt mir:
> [mm](G_1 \times[/mm] .. [mm]\times G_N) /(N_1 \times[/mm] .. [mm]\times N_n) \cong (G_1 /N_1) \times[/mm]
> .. [mm]\times (G_n /N_n)[/mm]
>
> Wie mache ich das? Hab da leider keinen Plan...?
Hattet ihr den Homomorphiesatz? Damit ist es sehr einfach. Gib einen passenden Homomorphismus [mm] $G_1 \times \dots \times G_n \to (G_1/N_1) \times \dots \times (G_n/N_n)$ [/mm] an, der surjektiv ist und dessen KErn [mm] $N_1 \times \dots \times N_n$ [/mm] ist. Daraus folgt (a) der gesuchte Isomorphismus und (b) dass [mm] $N_1 \times \dots \times N_n$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $G_1 \times \dots \times G_n$ [/mm] ist.
Wenn ihr den Homomorphiesatz nicht hattet, musst du direkt eine Abbildung [mm] $(G_1 \times \dots \times G_n) [/mm] / [mm] (N_1 \times \dots \times N_n) \to (G_1/N_1) \times \dots (G_n/N_n)$ [/mm] angeben, zeigen dass diese wohldefiniert ist, dass sie injektiv ist, ein Homomorphismus ist und surjektiv ist. Ist nicht schwer, aber muehsam. Mit dem Homomorphiesatz (manchmla auch als 1. Isomorphiesatz bekannt) ist es wesentlich einfacher.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 02.12.2012 | | Autor: | Lu- |
Vielen Dank. Ja an den satz hatte ich nicht gedacht,
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 So 02.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank. Ja an den satz hatte ich nicht gedacht,
Bitte :)
Das ist ein sehr praktischer Satz, der meist unterschaetzt wird bzw. abschreckt. Aber man kann ihn immer wieder brauchen und er nimmt einen dann sehr viel Arbeit ab :)
LG Felix
|
|
|
|
