Normen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Allerseits!
Eine Norm ist ja folgendermaßen definiert:
[mm]\left|\left|\cdot{}\right|\right|: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/mm] heißt Norm auf [mm]\mathbb{R}^n[/mm], wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
[mm](1)\;\left|\left|x\right|\right| = 0 \gdw x = 0[/mm]
[mm](2)\;\left|\left|\alpha x\right|\right| = \left|\alpha\right|\left|\left|x\right|\right|\quad\forall x \in \mathbb{R}^n\quad\forall\alpha \in \mathbb{R}[/mm]
[mm](3)\;\left|\left|x+y\right|\right| \leqslant \left|\left|x\right|\right| + \left|\left|y\right|\right|\quad\forall x,y \in \mathbb{R}^n[/mm]
Wie zeige ich nun alleine aus diesen drei Eigenschaften folgernd, daß
[mm]\left|\left|x\right|\right| > 0\quad\forall x \ne 0[/mm]?
Was einem ja sofort einfällt ist Folgendes:
[mm]\left|\left|x\right|\right| = \left|\left|\sum_{i=1}^n{\alpha_ie_i}\right|\right|[/mm].
Ich stelle [mm]x[/mm] also als eine Linearkombination aus der Einheitsbasis von [mm]\mathbb{R}^n[/mm] dar.
Durch [mm]n-1\texttt{--malige}[/mm] Anwendung von Regel (3) und anschließender Anwendung von (2) erhalten wir:
[mm]\left|\left|x\right|\right| \leqslant \sum_{i=1}^n{\left|\alpha_i\right|\left|\left|e_i\right|\right|}[/mm]
Aber ich fürchte, daß ich hier generell anders hätte anfangen sollen, richtig? Im Moment fällt mir aber kein völlig anderer Ansatz ein...
Wäre schön, wenn man mir helfen könnte. 
Liebe Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 So 08.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Lieber Karl!
Wegen (1) müsste es andernfalls ein $x [mm] \ne [/mm] 0$ mit [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] <0$ geben. Dann wäre nach (2) auch [mm] $\Vert [/mm] -x [mm] \Vert [/mm] = |-1| [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] <0$ und daher nach (1) und (3):
$0 = [mm] \Vert [/mm] 0 [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x + [mm] (-x)\Vert \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + [mm] \Vert [/mm] -x [mm] \Vert [/mm] <0$,
Widerspruch.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
Aber zumindest habe ich den Beweis verstanden. Vor nicht allzu langer Zeit wäre dem nicht so gewesen...
