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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Fr 01.06.2012 | | Autor: | phychem |
Hallo
Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und man betrachte für einen beliebigen Endomorphismus F [mm] \in [/mm] End(V) den folgenden Algebrenhomomorphismus zwischen der Algebra der Polynome über K und der Endomorphismenalgebra von V:
K[X] [mm] \to [/mm] End(V) , [mm] p=\summe_{n}p_{n}X^{n} \mapsto p(F):=\summe_{n}p_{n}F^{n}
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass es ein normiertes Polynom p [mm] \in [/mm] K[X] mit p(F)=0 und Grad(p) [mm] \le n^{2} [/mm] gibt (0 steht für die Nullabbildung).
Dieser Beweis sollte eigentlich ziemlich trivial sein, nur gelingt er mir gerade einfach nicht.
Ich weiss, dass [mm] dim(K[X])=\infty [/mm] ist, und wenn ich mich nicht irre, gilt [mm] dim(End(V))=n^{2}. [/mm] Aber wie schliess ich nun auf die Existenz eines solchen normierten Polynoms?
In der Aufgabenstellung wird noch darauf hingewiesen, dass man die Endomorphismen id, F, [mm] F^{2},...,F^{n^{2}} [/mm] betrachten soll.
Leider konnte ich mit diesem Hinweis nicht allzuviel anfangen.
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moin,
Du hast hier mit den Potenzen von $F$ genau [mm] $n^2+1$ [/mm] Elemente deines Vektorraums, also mehr als der Vektorraum Dimension hat.
Das heißt diese sind linear abhängig.
Wie kannst du das verwenden, um das gesuchte Polynom zu finden?
lg
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Fr 01.06.2012 | | Autor: | phychem |
Achso, d.h. die Nullabbildung lässt sich als eine nicht-triviale Linearkombination der Endomorphismen id, F, [mm] F^{2}, [/mm] ..., [mm] F^{n^{n}} [/mm] schreiben:
0 = [mm] k_{0}id [/mm] + [mm] k_{1}F [/mm] + [mm] k_{2}F^{2} [/mm] + ... + [mm] k_{n^{2}}F^{n^{2}}
[/mm]
mit
[mm] \exists [/mm] i [mm] \in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not= [/mm] 0
Indem ich nun beide Seiten mit dem Skalar [mm] 1/k_{m} [/mm] mit
m:= max{ i [mm] \in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not= [/mm] 0}
multipliziere, erhalte ich das gesuchte normierte Polynom.
Richtig?
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> Achso, d.h. die Nullabbildung lässt sich als eine
> nicht-triviale Linearkombination der Endomorphismen id, F,
> [mm]F^{2},[/mm] ..., [mm]F^{n^{n}}[/mm] schreiben:
>
> 0 = [mm]k_{0}id[/mm] + [mm]k_{1}F[/mm] + [mm]k_{2}F^{2}[/mm] + ... +
> [mm]k_{n^{2}}F^{n^{2}}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\exists[/mm] i [mm]\in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not=[/mm] 0
>
> Indem ich nun beide Seiten mit dem Skalar [mm]1/k_{m}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit
> m:= max{ i [mm]\in \{0,1,...,n^{2}\}: k_{i} \not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
> multipliziere, erhalte ich das gesuchte normierte
> Polynom.
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> Richtig?
ganz genau!
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