Nullraum der Matrix bestimmen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 So 04.04.2010 | | Autor: | Ikarus81 |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Nullraum der Matrix
[mm] \vmat{ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 6 & 9 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & 5 } [/mm] |
Hallo!
Beim auflösen merkt man schnell dass [mm] x_{4} [/mm] = 0 ist und somit sich die Gleichungen wegstreichen, so komme ich auf
t [mm] \pmat{ x_{1} \\ 2x_{2} \\ 3x_{3} \\ 0 }
[/mm]
Unser Dozent bekommt allerdings
t [mm] \pmat{ -2x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 } [/mm] + u [mm] \pmat{ -3x_{1} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 }
[/mm]
Ist das seine freie Interpretation oder die einzige Lösung dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 So 04.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum schreibst du :
t $ [mm] \pmat{ -2x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ + u $ [mm] \pmat{ -3x_{1} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 } [/mm] $
und nicht
t $ [mm] \pmat{ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] $ + u $ [mm] \pmat{ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $
wenn man [mm] x_4=0 [/mm] hat bleibt doch noch die Gleichung
[mm] 2x_1+4x_2+6x_3=0
[/mm]
wenn du [mm] x_3=0 [/mm] setzest hast du den ersten Vektor, wenn du [mm] x_2=0 [/mm] setzest en zweiten,
natürlich kann man auch andere Wahlen treffen, das sind aber die einfachsten.
Dein einer Vektor löst doch die Gleichung nicht?
wie kommst du auf den?
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:51 So 04.04.2010 | | Autor: | Ikarus81 |
Genau, das ist das Problem. Ich bekunde grosse Mühe zusehen wie aus [mm] 2x_{1} +4x_{2} +6x_{3} [/mm] die Lösung gebastelt werden kann. Wenn man nach deiner Anleitung [mm] x_{3} [/mm] Null setzt, dann bleibt ja [mm] 2x_{1}=-4x_{2}, [/mm] bzw. [mm] x_{1}=-2x_{2} [/mm] . Wenn ich nun [mm] x_{1} [/mm] als t definiere, kommt da t [mm] \pmat{ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
raus... Irgendwie bau ich Mist, komm aber nicht dahinter wo...
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Hallo,
am besten postest Du mal Deine zeilenstufenform, dann kann man Dir gut zeigen, wie es geht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 So 04.04.2010 | | Autor: | Ikarus81 |
[mm] \vmat{ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -16 }
[/mm]
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> [mm]\vmat{ 2 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -16 }[/mm]
>
Hallo,
das ist aber nicht die Zeilenstufenform.
Die Zeilenstufenform ist [mm] \vmat{ \green{2} & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \green{1 }\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
So kannst Du systematisch vorgehen:
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 4. Spalte.
Also kann man die 2. und 3. Variable frei wählen:
[mm] x_2=r
[/mm]
[mm] x_3=s.
[/mm]
Aus der 2.Zeile erhält man
[mm] x_4=0
[/mm]
und aus der ersten
[mm] x_1=0.5*(-4x_2-6x_3-x_4)=-2r-3s.
[/mm]
Also haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-2r-3s\\r\\s\\0}=r\vektor{-2\\1\\0\\0}+s\vektor{-3\\0\\1\\0}.
[/mm]
Die beiden Vektoren [mm] \vektor{-2\\1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-3\\0\\1\\0} [/mm] sind eine Basis des Lösungsraumes.
Viele andere Basen sind denkbar, diese hier springt einem in die Arme.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:48 So 04.04.2010 | | Autor: | Ikarus81 |
Vielen herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort!
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