Nullstelle im chark. Polynom < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man bestimme alle Funktionen w(t), x>0, mit
[mm] w^{(4)}+4a^{4}*w [/mm] =1 und a>0, w(0)=w''(0)=0, [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] w(x) < [mm] \infty [/mm] |
Hallo liebe Matheraum-Mitglieder,
mein Problem bei der Aufgabe besteht darin die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu bestimmem.
Mein Ansatz:
[mm] p(\lambda)= \lambda^{4} [/mm] + [mm] 4a^{4} [/mm] = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel[2]{-4a^{4}}
[/mm]
[mm] \lambda^{2} [/mm] = [mm] \pm i2a^{2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm [/mm] ( [mm] \pm [/mm] i [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] a)
So und ab hier komm ich nicht weiter. Wie soll ich jetzt noch weiter umformen um auf a+ib zu kommen?
In der Lösung steht: [mm] \lambda [/mm] _{1,2,3,4} = [mm] \pm [/mm] a(1 [mm] \pm [/mm] i)
Wie komm ich da drauf?
Freu mich auf eure Antworten :)
Gruß FragenMichl
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimme alle Funktionen w(t), x>0, mit
> [mm]w^{(4)}+4a^{4}*w[/mm] =1 und a>0, w(0)=w''(0)=0,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] w(x) < [mm]\infty[/mm]
> Hallo liebe Matheraum-Mitglieder,
>
> mein Problem bei der Aufgabe besteht darin die Nullstellen
> des charakteristischen Polynoms zu bestimmem.
>
> Mein Ansatz:
> [mm]p(\lambda)= \lambda^{4}[/mm] + [mm]4a^{4}[/mm] = 0
> [mm]\lambda^{2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel[2]{-4a^{4}}[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] = [mm]\pm i2a^{2}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\pm[/mm]
> ( [mm]\pm[/mm] i [mm]\wurzel[2]{2}[/mm] a)
>
> So und ab hier komm ich nicht weiter. Wie soll ich jetzt
> noch weiter umformen um auf a+ib zu kommen?
>
> In der Lösung steht: [mm]\lambda[/mm] _{1,2,3,4} = [mm]\pm[/mm] a(1 [mm]\pm[/mm] i)
>
> Wie komm ich da drauf?
Die 4 4.Wurzeln aus -4 sind [mm]\pm[/mm] (1 [mm]\pm[/mm] i)
FRED
>
>
> Freu mich auf eure Antworten :)
>
>
> Gruß FragenMichl
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
genau so würde es in der Lösung stehen, aber ich komm nicht darauf wie man umformen muss, damit man das erhält.
Wie rechnest du denn da?
Danke für deine schnelle Antwort.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> genau so würde es in der Lösung stehen, aber ich komm
> nicht darauf wie man umformen muss, damit man das erhält.
>
> Wie rechnest du denn da?
Bestimme doch Du mal die 4. Wurzeln aus -4.
FRED
>
> Danke für deine schnelle Antwort.
|
|
|
| |
|
Das wär ja dann eigentlich
[mm] i\wurzel[2]{2}
[/mm]
und dann?
[mm] \wurzel[2]{i\wurzel[2]{2}}
[/mm]
Ich versteh einfach nicht so ganz wie man da dann weiter macht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mi 26.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Aus Wiki:
Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = [mm] re^{\mathrm i\phi} [/mm] dient die Formel
[mm] \sqrt[n]{z} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},
[/mm]
wobei k die Werte 0, 1, [mm] \ldots, [/mm] n-1 durchläuft. Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln. Dadurch ist ein Wurzelterm in [mm] \C [/mm] mehrdeutig.
FRED
|
|
|
|
