Oberflächenint. vs. Lebesgue < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:29 Fr 18.02.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo,
Ich habe eine Frage zum Oberflächenintegral für skalare Funktionen
(siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Oberfl%C3%A4chenintegral#Das_skalare_Oberfl.C3.A4chenintegral ).
Stimmt dieses mit dem Lebesgue Integral [mm] \integral_{F}{f(x,y,z) d(x,y,z)} [/mm] überein, sofern ich dieses berechnen kann?
Viele Grüße,
freimann
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Fr 18.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Nein, $F$ ist eine Nullmenge bzgl. des Lebesgue-maßes. Man muss statt dem drei-dimensionalen Lebesgue-Maß das $2$-dimensionale Hausdorff-Maß nehmen, dann ist deine Aussage im wesentlichen richtig.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Fr 18.02.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo pelzig,
danke für Deine Antwort. Dann kann ich diese beiden Dinge gesondert betrachten. Das ist schonmal gut.
Kannst Du mir noch erklären, warum F eine Lebesguesche Nullmenge ist?
Grüße,
freimann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Fr 18.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Nunja, ich weiß ja jetzt nicht wie ihr diese Hyperflächen eingeführt habt, aber in jedem Fall kann ich [mm]F[/mm] durch höhstens abzählbar viele "Flicken" [mm](F_i)_{i\in\IN}[/mm] überdecken, die parametrisiert werden durch stetig diffbare Abbildungen [mm]\varphi_i:\IR^2\to\IR^3[/mm], d.h. [mm]F_i=\varphi_i(\IR^2)[/mm]. Nun betrachte die stetig diffbaren Abbildungen [mm]\Phi_i:\IR^3\to\IR^3[/mm] mit [mm]\Phi_i(x,y,z)=\varphi_i(x,y)[/mm], dann ist also so [mm]F_i=\varphi(\IR^2)=\Phi(\IR^2\times\{0\})[/mm]. Aber [mm]C^1[/mm]-Abbildungen bilden Nullmengen auf Nullmengen ab, also ist
[mm]\lambda(F)=\lambda\left(\bigcup_{i\in\IN} F_i\right)\le\sum_{i\in\IN}\lambda(F_i)=0[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
|
