Oberflächenintegrale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 So 02.12.2012 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{ 2y\wurzel{x^{2}+y^{2}}dx} dy} [/mm] mit B={(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] y; [mm] x^{2}+y^{2} \le [/mm] y} |
Hallo an alle!
Habe hier diese Beispiel wo ich nicht weiterkomme.
Bei solchen Beispielen wandle ich immer als erstes in Polarkoordinaten um (ist das überhaupt immer sinnvoll??)
also habe ich [mm] x=r*sin(\phi), y=r*cos(\phi) [/mm] und df= [mm] r*dr*d\phi
[/mm]
nun stehe ich aber an um meine Grenzen zu bekommen.
aufgrund der Nebenbedingungen ist ja
0 [mm] \le r*sin(\phi) \le r*cos(\phi) [/mm] und
[mm] r^{2}*sin^{2}(\phi)+r^{2}*cos^{2}(\phi) \le r*cos(\phi)
[/mm]
und da sin²+cos²=1 steht hier dann nur noch [mm] r^{2} \le r*cos(\phi)
[/mm]
wie mache ich hier aber weiter bzw. komme hier auf die grenzen? oder ist mein ansatz sowieso falsch?
vielen dank und lg
markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 02.12.2012 | | Autor: | mwieland |
> und da sin²+cos²=1 steht hier dann nur noch [mm]r^{2} \le r*cos(\phi)[/mm]
achso ok dann kann ich eigentlich sagen dass |r| [mm] \le cos(\phi) [/mm] sein muss und deshalb -1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 ist oder stimmt das nicht so?
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Hallo mwieland,
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> > und da sin²+cos²=1 steht hier dann nur noch [mm]r^{2} \le r*cos(\phi)[/mm]
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> achso ok dann kann ich eigentlich sagen dass |r| [mm]\le cos(\phi)[/mm]
> sein muss und deshalb -1 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] 1 ist oder stimmt das
> nicht so?
Splitte doch mal die Ungleichung auf:
[mm]r^{2}-r*\cos\left(\phi\right) \le 0[/mm]
[mm]\gdw r*\left(r-\cos\left(\phi\right)\right) \le 0[/mm]
Daraus folgen zunächst zwei Fälle:
i) [mm]r \ge 0 \wedge r \le \cos\left(\phi\right)[/mm]
ii) [mm]r \le 0 \wedge r \ge \cos\left(\phi\right)[/mm]
Jetzt ist aber nur der Fall [mm]r \ge 0[/mm] interessant.
Dann folgt: [mm]0 \le r \le \cos\left(\phi\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mwieland |
wie komme ich auf diese zwei fälle, kann dir da nicht so ganz folgen... ok dann habe ich die grenzen von r und setze als obere grenze den [mm] cos(\phi) [/mm] ein, aber wie komme ich dann auf die grenzen von [mm] \phi? [/mm] ich sollte ja auf einen zahlenwert als endergebnis kommen oder?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 03.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
r ist doch immer posituv, das vorzeichen von x,y kommt durch [mm] \phi!
[/mm]
für deine fläche geht [mm] \phi [/mm] von 0 bis 90° bzw [mm] \pi/2, [/mm] r von 0 bis 1.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mo 03.12.2012 | | Autor: | mwieland |
vielen vielen dank für deine hilfe!
kannst du mir vl noch ein paar tipps oder hinweise geben wie ich da draufkomme, denn da beim grenzen bestimmen habe ich immer noch große schwierigkeiten... bzw. wie kann ich mir das aufzeichnen, könntest du mir das erklären? hab allgemein probleme mit dieser nebenbedingung für die fläche was anzufangen... gibts da so eine art "rezept" an das ich mich halten kann oder so?
vielen vielen dank,
markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Mo 03.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte dir doch aufgeschrieben wie man B umformt um es zu "sehen"
hast du das mal aufgezeichnet?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 02.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du dir B mal aufgezeichnet, der Rand ist ja nicht ein Kreis um 0,
Dann kannst du deine Grenzen "sehen"
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 02.12.2012 | | Autor: | mwieland |
hallo!
danke mal für deine antwort, habs grade versucht aber bin gescheitert... kannst mir auf die sprünge helfen bitte? bin da noch nicht so ganz gut bei diesen sachen, tut mir leid...
dank und lg
markus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 02.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x^2+^2
[mm] x^2+y^2-y<0
[/mm]
[mm] x^2+(y-1/2)^2<(1/2)^2
[/mm]
Gruss leduart
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