Orthog. Zerlegung von Vektorr. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] W_1 [/mm] die hyperbolische Ebene [mm]
Zeige, dass gilt: V = [mm] W_1 \oplus V_1 [/mm] |
Hallo Leute, es wäre sehr nett, wenn mir dabei jemand behilflich sein könnte.
Danke schonmal vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]W_1[/mm] die hyperbolische Ebene [mm]
> V und [mm]\lambda \in[/mm] K und sei [mm]V_1[/mm] = [mm]W_1 ^\perp.[/mm]
> Zeige, dass
> gilt: V = [mm]W_1 \oplus V_1[/mm]
>
> Hallo Leute, es wäre sehr nett,
> wenn mir dabei jemand behilflich sein könnte.
Was weisst du schon ueber das orthogonale Komplement?
Es ist doch so, dass fuer jeden UVR $U$ gilt $U [mm] \oplus U^\bot [/mm] = V$, wenn $V$ ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum ist. Falls ihr das hattet, bist du sofort fertig.
LG Felix
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Achso, folgt das dann einfach aus dem Basisergänzungssatz, dass ich eine Basis von [mm] W_1 [/mm] zu einer Basis von V durch Hinzunahme von Vektoren aus dem orthogonalen Komplement ergänzen kann ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Achso, folgt das dann einfach aus dem Basisergänzungssatz,
> dass ich eine Basis von [mm]W_1[/mm] zu einer Basis von V durch
> Hinzunahme von Vektoren aus dem orthogonalen Komplement
> ergänzen kann ?
Das kannst du nur so machen, wenn du weisst, dass [mm] $W_1 [/mm] + [mm] W_1^\bot [/mm] = V$ ist. Aber dann wuesstest du bereits, dass [mm] $W_1 \oplus W_1^\bot [/mm] = V$ ist.
Falls ihr noch nicht wirklich etwas ueber das orthogonale Komplement wisst: arbeite mit Matrizen und finde eine Matrix, deren Kern gleich dem Bild einer anderen Matrix ist. In dem Fall sind die Bilder der beiden Matrizen orthogonale Komplemente, und du siehst dass sich die Dimensionen passend zu [mm] $\dim [/mm] V$ addieren.
LG Felix
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