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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Was ist die Orthogonalprojektion von [mm] \vektor{4 \\ 9 \\ 16} [/mm] in die von [mm] a=\vektor{1 \\ 4 \\ 9} [/mm] und [mm] b=\vektor{2 \\ 3 \\ 5} [/mm] aufgespannte Ebene, die den Punkt [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] enthält. |
Hallo zusammen, ich bin so vorgegangen:
1: Normalvektor von a und b durch Kreuzprodukt bilden:
[mm] axb=\vektor{-2*\frac{3}{4}-3*-\frac{2}{3} \\ 3*\frac{1}{2}-1*\frac{3}{4} \\ 1*-\frac{2}{3}-(-2)*\frac{1}{2} }=\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}}
[/mm]
2:Eine Gerade konstruieren, durch die Punkte [mm] \vektor{ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}} [/mm] und [mm] \vektor{ 4 \\ 9 \\ 16}
[/mm]
[mm] x=p_1+(p_2-p_1)=\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}}+t\vektor{4-\frac{1}{2} \\ 9-\frac{3}{4} \\ 16-\frac{1}{3}}=\vektor{\frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{1}{3}}+t\vektor{\frac{7}{2} \\ \frac{33}{4} \\ \frac{47}{3}}
[/mm]
3:Die Ebene konstruieren mit den Punkten a und b und dem Punkt s=(1,1,0)
[mm] x=s+\lambda *r_1+\mu *r_2
[/mm]
[mm] x=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda *\vektor{0 \\ 3 \\ 9}+\mu *\vektor{1 \\ 2 \\ 5} [/mm] mir [mm] r_1=\vektor{ 1-1 \\ 4-1 \\ 9-0} [/mm] und [mm] r_2=\vektor{ 2-1 \\ 3-1 \\ 5-0}
[/mm]
4:Den Schnittpunkt errechnen, indem ich die Gerade=Ebene setze, um damit die einzelnen variablen durch die Komponentendarstellung errechnen zu können. Dabei bekomme ich aber echt seltsame Zahlen raus und ich denke mir das ich ein Fehler gemacht haben muss nur finde ich ihn nicht.
Hilfe wäre echt klasse!!! Vielen Dank im Voraus!
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Hallo Skyrula,
zunächst ist nicht klar, ob die von die angegebenen a und b nun Ortsvektoren bzw. Punkte sein sollen, oder Richtungsvektoren. Du rechnest als wären es Ortsvektoren, ich denke jedoch dass das die beiden Richtungsvektoren der Ebene sein sollen, da ja die Ebene eben duch diese beiden Vektoren aufgespannt werden soll.
Die Ebenengleichung müsste also:
[mm] x=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda *\vektor{1 \\ 4 \\ 9}+\mu *\vektor{2 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
lauten.
Wie du auf dein Kreuzprodukt axb kommt, verstehe ich leider nicht. Lies am besten nochmal nach, wie man das rechnet.
Die Schnittgrade mit welcher du dann entsprechend den Projektionspunkt auf der Ebene berechnen kannst, stellst du auf mit dem zugehörigen Ortsvektor zum Punkt (4/9/6) und eben dem richigen Normalenvektor axb.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Skyrula |
Hallo, ich habe grade gemerkt, dass ich in der Zeile der Aufgaben verrutscht bin, als ich die Aufgabe abgeschrieben habe.
a=(1,4,9) und b(2,3,5)
Also mein Normalvektor axb lautet demnach: [mm] \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}
[/mm]
Die Gerade dazu lautet: [mm] \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 4-2 \\ 9-13 \\ 16-5}=\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11}
[/mm]
Meine Ebene lautet: [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
Nun setze ich die Ebene Gleich der Geraden:
[mm] \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 1}=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5} [/mm] | [mm] -\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} |-t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11}
[/mm]
So komme ich auf folgende Komponentendarstellung:
I [mm] 1=\lambda +2\mu [/mm] -2t
II [mm] 12=4\lambda +3\mu [/mm] -4t
III [mm] 5=9\lambda +5\mu [/mm] -11t
Ist es denn jetzt korrekt bis hier hin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe grade gemerkt, dass ich in der Zeile der
> Aufgaben verrutscht bin, als ich die Aufgabe abgeschrieben
> habe.
>
> a=(1,4,9) und b(2,3,5)
>
> Also mein Normalvektor axb lautet demnach: [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}[/mm]
>
> Die Gerade dazu lautet: [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 4-2 \\ 9-13 \\ 16-5}=\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11}[/mm]
Das stimmt doch nicht. Der Normalenvektor [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}[/mm] ist doch der Richtungsvektor der Gerade.
FRED
>
> Meine Ebene lautet: [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5}[/mm]
>
> Nun setze ich die Ebene Gleich der Geraden:
>
> [mm]\vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}+t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 1}=\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0}+\lambda \vektor{ 1 \\ 4 \\ 9}+ \mu \vektor{ 2 \\ 3 \\ 5}[/mm]
> | [mm]-\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0} |-t\vektor{ 2 \\ -4 \\ 11}[/mm]
>
> So komme ich auf folgende Komponentendarstellung:
>
> I [mm]1=\lambda +2\mu[/mm] -2t
> II [mm]12=4\lambda +3\mu[/mm] -4t
> III [mm]5=9\lambda +5\mu[/mm] -11t
>
> Ist es denn jetzt korrekt bis hier hin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Skyrula |
Könnte mir mal einer netter Weise zeigen, wie die Gleichung der Geraden aussehen muss?
Meine Ebene stimmt jetzt also?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Könnte mir mal einer netter Weise zeigen, wie die
> Gleichung der Geraden aussehen muss?
$x= [mm] \vektor{ 4 \\ 9 \\ 16}+t* \vektor{ 2 \\ 13 \\ 5}$
[/mm]
War das nett genug ?
> Meine Ebene stimmt jetzt also?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Skyrula |
Ja das war es, danke!
Jetzt setze ich die Gerade = Ebene und erhalte damit den Schnittpunkt und damit auch die Lösung.
Die Komponentendarstellung ist also:
I [mm] 4+2t=1+\lambda +2\mu
[/mm]
II [mm] 9+13t=1+4\lambda+3\mu
[/mm]
III [mm] 16+5t=9\lambda+5\mu
[/mm]
korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja das war es, danke!
>
> Jetzt setze ich die Gerade = Ebene und erhalte damit den
> Schnittpunkt und damit auch die Lösung.
>
> Die Komponentendarstellung ist also:
>
> I [mm]4+2t=1+\lambda +2\mu[/mm]
> II [mm]9+13t=1+4\lambda+3\mu[/mm]
> III [mm]16+5t=9\lambda+5\mu[/mm]
>
> korrekt?
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 03.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
welchen Sinn macht es von einem Punkt P=(4,9,16) den Normalenvektor abzuziehen? Die Gerade hat doch als Richtungsvektor den Normalenvektor, aus Aufpunkt P
unterscheide in deinen Gedanken deutlich zwischen Punkten, veschrieben durch ihren prtsvektor und Vektoren, die man beliebig in [mm] \IR^3 [/mm] verschieben kann.
Gruß leduart
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