Orthonormalisierungsverfahren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:26 Di 08.04.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^{3} [/mm] bilden die Vektoren [mm] \vec{a}= [/mm] (1,1,1), [mm] \vec{b}=(1,2,-2), \vec{c}= [/mm] (1,1,2) eine Basis.
a) Berechnen Sie zu dieser eine Orthonormalbasis mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren.
b) Weisen Sie nach, dass die von ihnen errechneten Vektoren tatsächlich ein Orthonormalsystem bilden. |
meine ONB soll aus den vektoren [mm] \vec{d},\vec{e},\vec{f} [/mm] bestehen
ich habe nun begonnen und nach schritt 1 ist: [mm] \vec{d}= \vec{a}= [/mm] (1,1,1)
im 2.schritt erhalte ich für [mm] \vec{e}= (\bruch{2}{3}, \bruch{5}{3}, \bruch{-7}{3}= \bruch{1}{3}*(2,5,-7)
[/mm]
für [mm] \vec{f}=\bruch{1}{78}*(-12,9,101)
[/mm]
anschließend normiere ich jeden vektor und bekommen somit für
[mm] \vec{d}= (\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{1}{\wurzel{3}})
[/mm]
[mm] \vec{e}= (\bruch{2}{\wurzel{78}}, \bruch{5}{\wurzel{78}},\bruch{-7}{\wurzel{78}})
[/mm]
[mm] \vec{f}= (\bruch{-12}{\wurzel{10426}}, \bruch{9}{\wurzel{10426}},\bruch{101}{\wurzel{10426}})
[/mm]
zur kontrolle berechne ich die länge der 3 vektoren, sie beträgt jeweils 1- also der erste beweis für ein ONS.
auch sind [mm] \vec{d} [/mm] und [mm] \vec{e} [/mm] orthogonal zueinander, da ihr produkt 0 ergibt. für die restlichen kombinationen stimmt dies jedoch nicht, es muss also mindestens der 3.vektor falsch sein, ich kann jedoch meinen fehler nirgends finden.
vielleicht kann mir ja jemand sagen, ab welcher stelle meine rechnung nicht mehr stimmt und wir finden den fehler gemeinsam?!
danke, grüße.
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Hallo,
rechne doch lieber hier mal vor, was Du getan hast um die 3 Vektoren zu bekommen, dann kann man den Fehler gleich aufspüren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
beim gram-schmidtschen-orthogonalisierungsverfahren muss man nach jedem schritt normieren und nicht erst am ende, sonst funktioniert das verfahren im allgemeinen nicht (siehe beweis).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Di 08.04.2008 | | Autor: | jura |
mhhh, also in dem buch, mit dem ich mir das erarbeitet habe, wird zuerst die OGB berechnet und anschließend jeder vektor für sich normiert.
ich rechne mal für meinen vektor [mm] \vec{e} [/mm] vor: [mm] \vec{e}= \vec{b}- proj\vec{b}= \vec{b}- \bruch{\vec{b}*\vec{d}}{|\vec{d}|^2}*\vec{d}= \vektor{1\\ 2\\-2}- \bruch{1}{3}*\vektor{1\\1\\1}=(\bruch{2}{3}, \bruch{5}{3}, \bruch{-7}{3})= \bruch{1}{3}*(2,5,-7)
[/mm]
so, ich hoffe, bei dem ganzen tipp-spaß ist mir kein fehler unterlaufen....und ihr könnt mir mit meinem problem weiterhelfen?!
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> mhhh, also in dem buch, mit dem ich mir das erarbeitet
> habe, wird zuerst die OGB berechnet und anschließend jeder
> vektor für sich normiert.
> ich rechne mal für meinen vektor [mm]\vec{e}[/mm] vor: [mm]\vec{e}= \vec{b}- proj\vec{b}= \vec{b}- \bruch{\vec{b}*\vec{d}}{|\vec{d}|^2}*\vec{d}= \vektor{1\\ 2\\-2}- \bruch{1}{3}*\vektor{1\\1\\1}=(\bruch{2}{3}, \bruch{5}{3}, \bruch{-7}{3})= \bruch{1}{3}*(2,5,-7)[/mm]
>
Hallo,
das deckt sich mit meiner Rechnung. Und weiter?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 08.04.2008 | | Autor: | jura |
tja, mit der gleichen methode berechne ich dann den 3.vektor (der ja falsch sein muss)
[mm]\vec{f}= \vec{c}- proj\vec{c}= \vec{b}- \bruch{\vec{c}*\vec{d}}{|\vec{d}|^2}*\vec{d}- \bruch{\vec{c}*\vec{e}}{|\vec{e}|^2}*\vec{e}= (\bruch{-2}{13}, \bruch{3}{26}, \bruch{101}{78})= \bruch{1}{78}*(-12,9,101)[/mm]
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> tja, mit der gleichen methode berechne ich dann den
> 3.vektor (der ja falsch sein muss)
Hallo,
ja, daß der falsch ist, sieht man ja daran, daß er nicht senkrecht zu dem zuvor errechneten Vektor ist.
> [mm]\vec{f}= \vec{c}- proj\vec{c}= \red{\vec{b}}- \bruch{\vec{c}*\vec{d}}{|\vec{d}|^2}*\vec{d}- \bruch{\vec{c}*\vec{e}}{|\vec{e}|^2}*\vec{e}= (\bruch{-2}{13}, \bruch{3}{26}, \bruch{101}{78})= \bruch{1}{78}*(-12,9,101)[/mm]
Das rote [mm] \vec{b} [/mm] muß [mm] \vec{c} [/mm] sein, falls es nicht daran liegt (nachprüfen!), ist es ein Rechenfehler, den ich natürlich nur sehe, wenn ich sehe, was Du rechnest. Dazu müßtest Du tippen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:36 Mi 09.04.2008 | | Autor: | jura |
ja, das mit dem b war natürlich nur ein tippfehler, ich hab mit c gerechnet, also hier ausführlich:
[mm] \vec{f}=\vektor{1\\ 1\\2}-\bruch{\vektor{1\\ 1\\2}*\vektor{1\\ 1\\1}}{3}*\vektor{1\\ 1\\1}-\bruch{\vektor{1\\ 1\\2}*\vektor{\bruch{2}{3}\\ \bruch{5}{3}\\\bruch{-7}{3}}}{|\vektor{\bruch{2}{3}\\ \bruch{5}{3}\\\bruch{-7}{3}}|^2}*\vektor{\bruch{2}{3}\\ \bruch{5}{3}\\\bruch{-7}{3}}=\vektor{\bruch{-1}{3}\\ \bruch{-1}{3}\\\bruch{2}{3}}-\vektor{\bruch{-14}{78}\\ \bruch{-35}{78}\\\bruch{49}{78}}=\vektor{\bruch{-2}{13}\\ \bruch{3}{26}\\\bruch{101}{78}}=\bruch{1}{78}*\vektor{-12\\9\\101}
[/mm]
und der is eben leider nicht senkrecht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jura!
In der untersten Zeile hat sich ein Rechenfehler eingeschlichen. Es gilt:
[mm] $$\bruch{2}{3} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{49}{78} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{26} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{78}*\red{3} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \bruch{1}{78}*101$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mi 09.04.2008 | | Autor: | jura |
ja, genau, hab ich eben bei der 100.kontrolle auch mitbekommen..........vielen dank!!
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