Ouotienten- u. Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihen mit dem Ouotienten- u. Wurzelkriterium. In welchen Fällen lässt sich mit dem Ouotienten- und/oder Wurzelkriterium etwas über die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihen aussagen?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^3}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{3^n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}, [/mm] wobei [mm] a_{n}=2^{-n} [/mm] für gerades n und [mm] a_{n}=3^{-n} [/mm] für ungerades n |
Meine Lösungen:
a) [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=(\bruch{n}{n+1})^3<1 \Rightarrow [/mm] Reihe konvergiert absolut
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}=\bruch{1}{n^{\bruch{3}{n}}}<1 \Rightarrow [/mm] Reihe konvergiert absolut
Richtig?
b) [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=...=\bruch{1}{3}*(\bruch{n+1}{n})^3
[/mm]
jetzt den lim bestimen liefert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}*(\bruch{n+1}{n})^3=\bruch{1}{3}*1
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^3}{3^n}}=\bruch{n^{\bruch{3}{n}}}{3^{\bruch{n}{n}}}=\bruch{1}{3}*n^{\bruch{3}{n}}
[/mm]
jetzt bekomme ich das mit dem lim gerade nicht hin. Kann mir da mal jemand bitte einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie folgende Reihen mit dem Ouotienten- u.
> Wurzelkriterium. In welchen Fällen lässt sich mit dem
> Ouotienten- und/oder Wurzelkriterium etwas über die
> Konvergenz bzw. Divergenz der Reihen aussagen?
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^3}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^3}{3^n}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n},[/mm] wobei [mm]a_{n}=2^{-n}[/mm] für
> gerades n und [mm]a_{n}=3^{-n}[/mm] für ungerades n
> Meine Lösungen:
>
> a) [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=(\bruch{n}{n+1})^3<1 \Rightarrow[/mm]
> Reihe konvergiert absolut
Bei a) liefert Dir das Wurzel- und auch das Quotientenkriterium keine Aussage !! Schau Dir diese Kriterien nochmal an, denn es scheint, dass Du sie nicht recht verstanden hast !!
>
> [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}=\bruch{1}{n^{\bruch{3}{n}}}<1 \Rightarrow[/mm]
> Reihe konvergiert absolut
>
> Richtig?
>
> b)
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=...=\bruch{1}{3}*(\bruch{n+1}{n})^3[/mm]
>
> jetzt den lim bestimen liefert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}*(\bruch{n+1}{n})^3=\bruch{1}{3}*1[/mm]
O.K.
>
>
>
> [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}=\wurzel[n]{\bruch{n^3}{3^n}}=\bruch{n^{\bruch{3}{n}}}{3^{\bruch{n}{n}}}=\bruch{1}{3}*n^{\bruch{3}{n}}[/mm]
>
> jetzt bekomme ich das mit dem lim gerade nicht hin. Kann
> mir da mal jemand bitte einen Tipp geben?
Was treibt [mm] (\wurzel[n]{n}) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Läuft gegen 1, also ist der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{3}*(n^{\bruch{1}{n}})^3=\bruch{1}{3}<1 \Rightarrow [/mm] abs. konvergent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Richtig
FRED
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Hallo,
für c) nimm das Wurzelkriterium!
Gruß
schachuzipus
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