P(A) berechnen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum betrachten wir die Ereignisse A, B und C, die den folgenden Bedingungen genügen:
P(B [mm] \cap [/mm] C)=0
P(B)=0,4
P(C)=0,2
P(A\ B)=0,5
P(A\ C)=0,4
P(A|B [mm] \cup [/mm] C)=0,3
Berechnen Sie P(A)! |
Hallo!
Ich habe nun Ewigkeiten an dieser Aufgabe rumgerechnet aber ich komme einfach nicht auf P(A).
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Lg, Jennymaus
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> Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum betrachten wir die
> Ereignisse A, B und C, die den folgenden Bedingungen
> genügen:
> P(B [mm]\cap[/mm] C)=0
> P(B)=0,4
> P(C)=0,2
> P(A\ B)=0,5
> P(A\ C)=0,4
> P(A|B [mm]\cup[/mm] C)=0,3
> Berechnen Sie P(A)!
> Hallo!
> Ich habe nun Ewigkeiten an dieser Aufgabe rumgerechnet
> aber ich komme einfach nicht auf P(A).
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
Es ist [mm] $\blue{P\big(A\cap (B\cup C)\big)}=P(A|B\cup C)\cdot P(B\cup [/mm] C)$, was sich aus den gegebenen W'keiten berechnen lässt. Wegen [mm] $P(B\cap [/mm] C)=0$ können wir die weitere Rechnung so behandeln, als wären $B$ und $C$ sogar disjunkt (Zeichnung!). Unter dieser vereinfachenden Annahme erhalten wir
[mm]\begin{array}{clcl}
1. & \red{P(A)}&=&P\big(A\cap (B\cup C)\big)+P\big(A\backslash (B\cup C)\big)\\
\multicolumn{4}{c}{\text{Habe in der ersten Version etwas doppelt gerechnet. Richtig wäre:}}\\
2. & &=&P\big(A\cap (B\cup C)\big)+P(A\backslash B)-P(A\cap B)\\
3. & &=& \blue{P\big(A\cap (B\cup C)\big)}+P(A\backslash B)-\big(\red{P(A)}-P(A\backslash C)\big)
\end{array}[/mm]
Diese Gleichung lässt sich nach $P(A)$ auflösen, die Berechnung des blauen Terms habe ich oben schon beschrieben; der Rest ist gegeben. Mit dieser Änderung erhält man, wie Teufel, $P(A)=0.54$.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 06.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe mich auch mal rangesetzt:
P(A|B [mm] \cup C)=\bruch{P(A \cap (B \cup C))}{P(B \cup C)}=0,3
[/mm]
P(A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C))=P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C))=P(A [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cap [/mm] C), wegen B [mm] \cap [/mm] C=0
[mm] \Rightarrow \bruch{P(A \cap B)+P(A \cap C)}{P(B)+P(C)}=0,3 [/mm]
P(A [mm] \cap [/mm] B)+P(A [mm] \cap [/mm] C)=0,18 (P(A) und P(B) eingesetzt und rüber geholt)
Jetzt gilt noch: P(A\ B)+P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A) [mm] \gdw [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)-P(A\ B)
Alles eingestezt:
P(A)-P(A\ B)+P(A)-P(A\ C)=0,18
2*P(A)=1,08
P(A)=0,54
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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