Parallelogramm integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 So 29.04.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Berechnen sie das Integral [mm]\integral_{K}^{}{(3x^2+2y)dx-(x^2+3*cos(y))dy}[/mm]
Wobei K ein Parallelogramm ist mit den Ecken (0,0),(2,0),(3,1),(1,1). Berechnen sie es zuerst direkt und anschließend mit dem Satz von Stokes. |
Hallo :)
Ich habe ein kleines Problem:
Mit dem Satz von Stokes muss ja gelten:
[mm]\integral_{K}^{}{((-1)-2)d(x,y)}[/mm]
leider verstehe ich nicht wie ich auf die Grenzen für x und y komme.. gibt es hier soetwas wie eine allgemeine Gleichung für Parallelogramme ?!
habe mir überlegt [mm]x\in [0,1][/mm] zu wählen. Bei y weiß ich leider nicht weiter.
Meine 2. Frage ist:
Wenn ich dieses Integral direkt rechne stelle ich mir ja die "verbindungslinien" der Eckpunkte als Geraden dar, also zb:
die Verbindung von [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm]: (0,0)+t*(2,0)=(2t,0) mit [mm]t\in [0,1][/mm]
wäre es nicht sinnvoller einfach zu sagen das die verbindung 1, also zb (wieder Strecke von Punkt 1 nach 2):
[mm]dK_1[/mm] :(r=(x,0) ; [mm]x\in [0,2][/mm] )
?! bin mit nicht sicher welche variante richtig/besser ist :)
außerdem brauche ich ja hier auch wieder eine geeignete darstellung von y die ich nicht und nicht herraus bekomme :(
Hoffe ihr könnt mir helfen :) Würde mich sehr freuen :)
Liebe Grüße eure Meely
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Hallo, ich beantworte erstmal nur die 2. frage:
> Berechnen sie das Integral
> [mm]\integral_{K}^{}{(3x^2+2y)dx-(x^2+3*cos(y))dy}[/mm]
>
> Wobei K ein Parallelogramm ist mit den Ecken
> (0,0),(2,0),(3,1),(1,1). Berechnen sie es zuerst direkt und
> anschließend mit dem Satz von Stokes.
>
> Meine 2. Frage ist:
>
> Wenn ich dieses Integral direkt rechne stelle ich mir ja
> die "verbindungslinien" der Eckpunkte als Geraden dar, also
> zb:
>
> die Verbindung von [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm]: (0,0)+t*(2,0)=(2t,0) mit
> [mm]t\in [0,1][/mm]
>
> wäre es nicht sinnvoller einfach zu sagen das die
> verbindung 1, also zb (wieder Strecke von Punkt 1 nach 2):
>
> [mm]dK_1[/mm] :(r=(x,0) ; [mm]x\in [0,2][/mm] )
ich würde genau diesen weg wählen .. also über dK.
wenn du dir dein parallelogramm aufzeichnest wirst du sehr schnell erkennen dass
[mm] $r_1=(x,0) [/mm] , [mm] x\in[0,2]
[/mm]
[mm] r_2=(x,x-2), x\in[2,3]
[/mm]
[mm] r_3=(x,1), x˜\in[3,1]
[/mm]
[mm] r_4=(x,x), x\in[1,0]$
[/mm]
anschließend musst du nur noch die einzelnen integrale durchrechnen ;)
>
> ?! bin mit nicht sicher welche variante richtig/besser ist
> :)
>
> außerdem brauche ich ja hier auch wieder eine geeignete
> darstellung von y die ich nicht und nicht herraus bekomme
> :(
>
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen :) Würde mich sehr freuen :)
>
Liebe Grüße
>
> Liebe Grüße eure Meely
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 29.04.2012 | | Autor: | meely |
Hallo Scherzkrapferl und danke für die Antwort :)
> > wäre es nicht sinnvoller einfach zu sagen das die
> > verbindung 1, also zb (wieder Strecke von Punkt 1 nach 2):
> >
> > [mm]dK_1[/mm] :(r=(x,0) ; [mm]x\in [0,2][/mm] )
>
> ich würde genau diesen weg wählen .. also über dK.
>
> wenn du dir dein parallelogramm aufzeichnest wirst du sehr
> schnell erkennen dass
> [mm]$r_1=(x,0)[/mm] , [mm]x\in[0,2][/mm]
> [mm]r_2=(x,x-2), x\in[2,3][/mm]
> [mm]r_3=(x,1), x˜\in[3,1][/mm]
>
> [mm]r_4=(x,x), x\in[1,0]$[/mm]
>
> anschließend musst du nur noch die einzelnen integrale
> durchrechnen ;)
du hast da anscheinend nur verglichen aus was x und y Element ist :) hoffe ich habs richtig verstanden ?!
Wie kann man denn jetzt die Grenzen für das 1. Integral beschreiben ?! Oder besser gesagt: Wie komm ich auf meine Grenzen ?! [mm] x\in[0,1] [/mm] wählen hilft ja glaube ich schon bisschen. aber wie siehts mit y aus ?!
wäre nett wenn du mir das noch erklären könntest :)
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 So 29.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
um direkt über die Fläche zu integrieren brauchst du die Parametrisierung nicht, nur im 2 ten Tei, wo du über die Randkurve integrierst, 4 integrale.
für die grenzen bei dem integral über die fläche, musst du die in 3 Teile teilen
1. unterhalb y= x bis y=1 dann unter der geraden y=1 bis x=2 dann unter der letzten Geraden, also hast du die summe aus 3 Integralen, deren grenzen du aus deiner Zeichnung abliest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 29.04.2012 | | Autor: | meely |
Hallo leduart :) danke für die Antwort,
bin mir allerdings nicht im klaren darüber was genau du meinst.
ich muss doch [mm]\integral_{K}^{}{( \frac{da_y}{dx}-\frac{da_x}{dy}){d(y,x)}}[/mm] berechnen. muss ich da nicht einfach eine weitere Grenze für y finden, also ich meine:
[mm]\integral_{x=0}^{1}{ \integral_{y=y_0(x)}^{y_1(x)}{( \frac{da_y}{dx}-\frac{da_x}{dy}){dy}dx}}[/mm]
da muss ich doch y abhängig von x machen ?!
Aufteilen muss man dieses Integral doch gar nicht soweit ich mich an die Vorlesung erinnere ?!
Liebe Grüße :)
PS: eine Kollegin meinte gerade dass ich [mm] $y\in[x,x+2]$ [/mm] wählen soll, dann funktionierts - aber erklären warum ich y so wählen muss, kann mir niemand :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 So 29.04.2012 | | Autor: | Calli |
Hey !
Das Integrationsgebiet stellt sich wie folgt dar :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 29.04.2012 | | Autor: | meely |
Hallo Calli und danke auch dir für die Antwort :)
Die Grafik ist genial !!! vielen vielen vielen Dank, dass du dir die Arbeit gemacht hast :DDDD
Jetzt versteh ich auch was Leduart gemeint hat :D
Also nochmal - vielen Dank an dich, Leduart und Scherzkrapferl ! ich bin begeistert, wie toll dieses Forum funktioniert :D
Liebe Grüße, eure Meely
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 So 29.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich weiss jetzt nichtm ob du grade dabei bist über den Rand zu itegrieren oder über die Fläche, über den Rand musst du doch jeweils nur über die 4 Teilstrecken integrieren, und da über x oder t jenachdem wie du den Kurvenparameter wählst. oder du fragst nach den Grenzen des Volumnintegrals. vielleicht schreibst du im ersten Fall erst mal das 1d Integral längs eines Weges hin'
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 So 29.04.2012 | | Autor: | meely |
Vielen Dank nochmal für die Antwort
das Integral über den Rand hat mir Scherzkrapferl schon erklärt :)
muss ja für den Satz von Green (so heißt dieser ebene Stokes Fall ja anscheinend) die Grenzen:
y: von 0 bis 1
x: von y bis (y+2)
wählen.
[mm] \integral_{y=0}^{1}{ \integral_{x=y}^{y+2}{( \frac{da_y}{dx}-\frac{da_x}{dy}){dx}dy}} [/mm]
anscheinend funktioniert ja auch:
[mm] x\in [/mm] [0,1]
[mm] y\in [/mm] [x,x+2]
:)
dank dir und Calli hab ich den Rest jetzt auch verstanden.
Vielen lieben Dank.
Liebe Grüße, Meely
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