ParameterFunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen ;)
Ich bin mir bei einer Aufgabe nicht so ganz sicher und es wäre schön, wenn jemand von euch über mein "Werken" drüberschauen könnte.
Also: ;)
a) Untersuchen Sie durch f(x) := [mm] x^{-a}e^{x} [/mm] definierte Funktion f: [mm] ]0,+\infty[ \to \IR [/mm] in Abhängigkeit vom Parameter a [mm] \in \IR [/mm] auf Monotonie und Beschränktheit, bestimmen Sie außerdem alle lokalen und globalen Extrema.
b) Zeigen Sie, dass durch f(x) := [mm] (1+1/x)^{x+1} [/mm] eine streng monoton fallende Funktion [mm] f:]0,+\infty[ \to \IR [/mm] definiert wird, indem Sie log(f) betrachten.
bei a) habe ich:
f´ [mm] (x)=(-a)*x^{a-1}*e^{x} [/mm] als Ableitung.
Ich habe die Funktionen auch mal gezeichnet. für a= 1,2,3,4. Also ne Extremstelle haben sie, aber ich habe grad die Schwierigkeit das in Abhängigkeit von a auszudrücken.
Und Monotonie haben wir ja auch nicht, da die Funktion ja zuerst fällt und danach erst steigt. Beschränkt ist sie nur durch ihre Extremstelle.
Hmm, wann ist denn f´(x) = 0? ja nur wenn a = 0 ist.
Hmm, ich steh glaube ich grad total auf dem Schlauch... :(
b) also da sind die beiden Funktionen sehr ähnlich. Sie sind nur etwas verschoben. Hmm. Das hilft mir aber jetzt auch nicht viel weiter. Wieso kann ich vom log(f) schließen, dass die Funktion f(x) streng monoton fällt?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen... :-(
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo zusammen ;)
Hallo
> Ich bin mir bei einer Aufgabe nicht so ganz sicher und es
> wäre schön, wenn jemand von euch über mein "Werken"
> drüberschauen könnte.
np
> a) Untersuchen Sie durch f(x) := [mm]x^{-a}e^{x}[/mm] definierte
> Funktion f: [mm]]0,+\infty[ \to \IR[/mm] in Abhängigkeit vom
> Parameter a [mm]\in \IR[/mm] auf Monotonie und Beschränktheit,
> bestimmen Sie außerdem alle lokalen und globalen Extrema.
>
> b) Zeigen Sie, dass durch f(x) := [mm](1+1/x)^{x+1}[/mm] eine streng
> monoton fallende Funktion [mm]f:]0,+\infty[ \to \IR[/mm] definiert
> wird, indem Sie log(f) betrachten.
>
> bei a) habe ich:
> f´ [mm](x)=(-a)*x^{a-1}*e^{x}[/mm] als Ableitung.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du musst natürlich die Produktregel anwenden. Damit ist dann wohl der Rest falsch 
> Ich habe die Funktionen auch mal gezeichnet. für a=
> 1,2,3,4. Also ne Extremstelle haben sie, aber ich habe grad
> die Schwierigkeit das in Abhängigkeit von a auszudrücken.
Bei der richtigen Ableitung wird das hoffentlich leichter fallen... Aber zur Untersuchung nach Extremstellen gehört nicht nur die notwendige Bedingung [mm] $f'(x_E)=0$ [/mm] sondern auch die Untersuchung der hinreichenden Bedingungen.
> Und Monotonie haben wir ja auch nicht, da die Funktion ja
> zuerst fällt und danach erst steigt. Beschränkt ist sie nur
> durch ihre Extremstelle.
Bedenken solltest du, dass dich die Funktion nur auf $[0; [mm] \infty]$ [/mm] interessiert - dort ist die Funktion aber monoton.
> Hmm, wann ist denn f´(x) = 0? ja nur wenn a = 0 ist.
Für $a=0$ wäre [mm] $f_0(x)=e^x$ [/mm] mit der Ableitung [mm] $e^x$ [/mm] und keinerlei Nullstellen. Es sind $x$-Werte gesucht an denen die Ableitung Null wird!
> Hmm, ich steh glaube ich grad total auf dem Schlauch...
> :(
Man merkts *g*
> b) also da sind die beiden Funktionen sehr ähnlich. Sie
> sind nur etwas verschoben. Hmm. Das hilft mir aber jetzt
> auch nicht viel weiter. Wieso kann ich vom log(f)
> schließen, dass die Funktion f(x) streng monoton fällt?
Um b) kümmern wir uns später. Wenn [mm] $\log(f)$ [/mm] monoton steigend ist, ist es auch $f$ selbst, da [mm] $\log(x)$ [/mm] monoton steigend ist.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Becks |
oh, das mit der Ableitung ist mir aber peinlich.
Das ist alles so lange her. Aber du hast natürlich Recht:
Also f´ [mm] (x)=(-a)x^{-a-1}*e^{x}+x^{-a}*e^{x}
[/mm]
f´´ (x) = [mm] (-a)*(-a-1)*x^{-a-2}*e^{x}+(-a)x^{-a-1}*e^{x}+(-a)x^{-a-1}*e^{x}+x^{-a}*e^{x}
[/mm]
ok :)
Nun die Monotonie:
Da bin ich immer noch der Meinung, dass ich keine Monotonie habe. Beim Beispiel von a=1. Dort fällt die Funktion bis ca. y=2 und steigt erst danach. Dann gilt doch mein Kriterium für die Monotonie nicht mehr, oder denke ich mal wieder nur Blödsinn?
Beschränkt ist die Funktion nur bei ihrer Extremstelle.
Nun zu den Extremstellen selber.
Nach etwas ausprobieren habe ich es rausgefunden. ^^
f^(x) = 0 und zwar wenn x = a.
und f´´ (a) = positiv. (weiß ich nicht, wie ich das über a ausdrücken kann)
Die Extremstelle ist dann bei ( a | [mm] a^{-a}*e^{a}
[/mm]
=> kann man das noch vereinfachen?
lag ich diesesmal besser?
wenn ja, dann kann ich mich an die b) machen ^^
Viele Grüße Becks
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Becks,
ja jetzt ist es besser. Tatsächlich liegt bei [mm] $\left(a,\left(\frac{e}{a}\right)^a\right)$ [/mm] ein Tiefpunkt vor. Damit ist die Funktion auf $(0;a]$ monoton fallend und auf $[a; [mm] \infty)$ [/mm] monoton steigend.
Die Funktion ist nicht beschränkt, hat aber eine untere Schranke, nämlich das globale Minimum [mm] $\left(\frac{e}{a}\right)^a$.
[/mm]
zu b) würde ich ersteinmal [mm] $\log\left(f(x)\right)$ [/mm] mit Hilfe der Logarithmengesetze vereinfachen, dabei entsteht ein Produkt aus monoton steigenden Funktionen (beide sind für [mm] $x\in [/mm] (0; [mm] \infty)$ [/mm] positiv). Dann kannst du ausnutzen, dass [mm] $\log\left(f(x)\right)$ [/mm] nur dann monoton fallend ist, wenn $f(x)$ selbst monoton fallend ist, weil die Logarithmusfunktion alleine nämlich monoton steigend wäre.
Gruß Max
|
|
|
|
