Parameter / Extremwertaufgabe? < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mi 04.10.2006 | | Autor: | yildi |
| Aufgabe | h(t) := v * t - 5 * [mm] t^2
[/mm]
Beim Ausbruch des Vulkans Ätna 2002 wurden Gesteine bis in Höhen von etwa 450m geschleudert. Welche Anfangsgeschwindigkeit v hatte das Gestein ca. ? |
ich vermute man muss die ableitung bilden..
doch irgendwie komm ich nicht weiter, obwohl das glaub ich iemlich leicht ist :C
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 04.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> h(t) := v * t - 5 * [mm]t^2[/mm]
>
> Beim Ausbruch des Vulkans Ätna 2002 wurden Gesteine bis in
> Höhen von etwa 450m geschleudert. Welche
> Anfangsgeschwindigkeit v hatte das Gestein ca. ?
> ich vermute man muss die ableitung bilden..
> doch irgendwie komm ich nicht weiter, obwohl das glaub ich
> iemlich leicht ist :C
Du musst für diese Funktion dein v so wählen, dass der Scheitelpunkt bei (t/450) liegt.
Dazu brauchst du erst einmal die Nullstellen der Funktion.
[mm] 0=v*t-5t²=t(v-5t)\Rightarrow t_{0_{1}}=0, t_{0_{2}}=\bruch{v}{5}.
[/mm]
Der x-Wert des Scheitelpunktes leigt ja genau zwischen den Nullstellen,also bei [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{v}{5}=\bruch{v}{10}.
[/mm]
Jetzt soll gelten:
[mm] h(\bruch{v}{10})=450, [/mm] also
[mm] v*\bruch{v}{10}-5(\bruch{v}{10})²=450
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{v²}{10}-5\bruch{v²}{100}=450
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{2v²}{20}-\bruch{v²}{20}=450
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] v²=9000
[mm] \Rightarrow v\approx95\bruch{m}{s}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marius!
Liegt der Mittelpunkt zwischen [mm] $t_1 [/mm] \ = \ 0$ und [mm] $t_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{5}*v$ [/mm] nicht bei [mm] $t_m [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(0+\bruch{1}{5}*v\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\red{10}}*v$ [/mm] ? 
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
ist klar im Vorteil.
Klar hast du Recht. *schäm*
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich habe die Antwort inzwischen mit Loddars Hinweis korrigiert.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo yildi!
M.Rex hat dir ja bereits einen sehr eleganten Weg mit dem Scheitelpunkt der Parabel gezeigt.
Es geht auch (etwas weniger elegant) mittels Ableitung ...
Du musst mit der 1. Ableitung $h'(t)_$ das Extremum [mm] $t_E$ [/mm] ermitteln, dessen Funktionswert dann den Wert [mm] $h_{\max} [/mm] \ = \ [mm] h(t_E) [/mm] \ = \ ... \ = \ 450 \ m$ annimmt.
In dieser Lösung (wie auch im [mm] $t_E$) [/mm] kommt immer noch das $v_$ vor, nach welchem Du dann auflösen kannst.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
