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| Aufgabe | | Es sei f: [mm] ]0,\infty[^2 \to \IR^2, (x,t)\mapsto \frac{e^{-t}-e^{-xt}}t [/mm] gegeben. Wir betrachten [mm] F(x)=\int_0^\infty~f(x,t)dt [/mm] . |
Ich habe bereits gezeigt, dass dieses Integral für alle x>0 existiert. Nun muss ich die Stetigkeit von F zeigen. Dafür suche ich am besten eine integrierbare Majorante g, die von x unabhängig ist, also [mm] |f(x,t)|\leq~g(t), [/mm] was hier aber nicht klappt, denn für [mm] x\to\infty [/mm] geht f gegen die Funktion [mm] \frac{e^{-t}}t, [/mm] die sich an der 0 nicht integrieren lässt (im Gegensatz zu f, denn f ist uneigentlich integrierbar).
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Hallo TommyAngelo,
es kann doch keine in Richtung der 0 konvergente Majorante geben, wie Du schon gezeigt hast.
Du brauchst also einen anderen Weg. Versuch doch mal zu zeigen, dass F(x) oberhalbstetig ist. Das sollte für endliches x>0 machbar sein und hier auch ausreichen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Fr 05.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Du kannst auch zeigen, dass F(x) in jedem Intervall [mm] \left[\tfrac{1}{2}x_0; 2x_0\right] [/mm] mit [mm] x_0>0 [/mm] stetig ist.
Vielleicht hat ja jemand noch eine einfachere Idee... 
Grüße
reverend
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So hab ich es mir auch gedacht. Man kann es nicht sofort auf [mm] ]0,\infty[ [/mm] zeigen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Sa 06.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
das ist nur ein kleiner Trick. Wenn Du zeigst, was ich hier zuletzt vorgeschlagen habe, hast Du doch alles gezeigt.
> So hab ich es mir auch gedacht. Man kann es nicht sofort
> auf [mm]]0,\infty[[/mm] zeigen.
Sofort ja. Direkt nein.
Grüße
reverend
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Ja oder so :)
Es gilt ja für [mm] x_10
[/mm]
Das heißt, zwei verschiedene f (also [mm] f_{x_1}, f_{x_2} [/mm] mit [mm] x_1\not=x_2) [/mm] schneiden sich nicht. Dann existiert eine Majorante, die wie folgt aussieht:
[mm] g(t):=\max_{x\in\left[\frac12x_0,2x_0\right]}|f(x,t)|\geq|f(x,t)|\;\;\;\;\forall~x\in\left[\frac12x_0,2x_0\right],\forall~t>0
[/mm]
Diese ist integrierbar, weil sie einfach ein bestimmtes [mm] f_{x_s} [/mm] ist.
Richtig so bisher?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 08.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 Mo 08.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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