Parametrisierung cosh(x) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Di 10.05.2011 | | Autor: | sh4nks |
| Aufgabe | Parametrisieren Sie den Graphen der Funktion f(X)= cosh x und berechnen Sie dessen
Bogenlänge füur -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1: |
Die Funktion cosh(x) ist y=0,5 [mm] (e^{x} [/mm] + [mm] e^{x}).
[/mm]
Wie kann ich das in eine Parameterdarstellung umwandeln?
Hab leider keine Idee, wie ich anfangen soll. Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Di 10.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Parametrisieren Sie den Graphen der Funktion f(X)= cosh x
> und berechnen Sie dessen
> Bogenlänge füur -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1:
> Die Funktion cosh(x) ist y=0,5 [mm](e^{x}[/mm] + [mm]e^{x}).[/mm]
>
> Wie kann ich das in eine Parameterdarstellung umwandeln?
[mm] $k(t)=\vektor{t \\ \cosh(t)}$ [/mm] , $t [mm] \in [/mm] [-1,1]$
FRED
> Hab leider keine Idee, wie ich anfangen soll. Vielen Dank
> schon mal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Di 10.05.2011 | | Autor: | sh4nks |
Danke, hab irgendwie zu kompliziert gedacht.
Jetzt soll man die Kurvenlänge von -1 bis 1 des cosh ausrechnen. Ist mein Weg plausibel?
L(X)= 2 * [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{(1 + (cosh'(x))²} dx} [/mm] (weil cosh ferade Funktion)
Dann Substitution, Radikant sei u, Stammfunktion ist [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] u^{\bruch{3}{2}}, [/mm] Die Grenzen sind 1- (sinh(x))², also eins und zwei.
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> Danke, hab irgendwie zu kompliziert gedacht.
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> Jetzt soll man die Kurvenlänge von -1 bis 1 des cosh
> ausrechnen. Ist mein Weg plausibel?
>
> L(X)= 2 * [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{(1 + (cosh'(x))²} dx}[/mm]
> (weil cosh gerade Funktion)
Die Aufteilung in zwei Hälften ist korrekt, aber dein
Integrand stimmt nicht. Wenigstens wird er nicht
korrekt angezeigt, weil du einen nicht [mm] T_{E}X [/mm] - fähigen
Exponenten verwendet hast ! Ferner sehe ich eine
öffnende Klammer zu viel und statt eines Plus- ein
Minuszeichen.
> Dann Substitution, Radikant sei u, Stammfunktion ist
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] * [mm]u^{\bruch{3}{2}},[/mm] Die Grenzen sind 1-
> (sinh(x))², also eins und zwei. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Substitution ist fürs Integrieren eigentlich gar nicht
nötig.
LG
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> Parametrisieren Sie den Graphen der Funktion f(X)= cosh x
> und berechnen Sie dessen
> Bogenlänge füur -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1:
> Die Funktion cosh(x) ist y=0,5 [mm](e^{x}[/mm] + [mm]e^{x}).[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das muss heißen: y=0,5 [mm](e^{x}[/mm] + [mm]e^{-x})[/mm]
> Wie kann ich das in eine Parameterdarstellung umwandeln?
Anstatt die cosh - Funktion zu verwenden, wie fred vorschlägt,
ginge es auch so, dass du [mm] t:=e^x [/mm] substituierst. Dann ergibt
sich die Parameterdarstellung
[mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{ln(t)\\ \frac{1}{2}*(t+\frac{1}{t})}$
[/mm]
Natürlich ist dann zu beachten, welches Intervall der
Parameter t durchlaufen muss.
LG Al-Chw.
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