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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:41 Di 29.05.2007 | | Autor: | Dhana |
| Aufgabe | Seien [mm]x, y \in \IR^n (n \ge 1)[/mm] mit [mm]x + ty \not= 0 \forall t \in [0, 1][/mm] und sei [mm]1 < p < \infty[/mm]. Mit [mm]|.|[/mm] werde die Euklidische Norm auf [mm]\IR^n[/mm] bezeichnet und mit xy das Skalarprodukt von x und y.
a) Benutzen Sie die partiellen Integrationsformeln
[mm]|x + y|^p = |x|^p + \integral_{0}^{1}{\bruch{\partial}{\partial t} |x + ty|^p dt}[/mm] und
[mm]\bruch{\partial}{\partial t} |x + ty|^p = \bruch{\partial}{\partial t} |x + ty|^p _{|_{t=0}} + \integral_{0}^{t}{\bruch{\partial^2}{\partial s^2} |x + sy|^p ds}[/mm]
um zu zeigen, dass gilt:
[mm]|x + y|^p = |x|^p + p|x|^{p-2}xy + p \integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{t}{|x+sy|^{p-2} [|y|^2 + (p-2)(y \bruch{x + sy}{|x + sy|})^2] ds dt}[/mm]
b) Zeigen Sie, dass eine von x und y unabhängige positive Konstante c existiert, so dass gilt:
[mm]|x + y|^p \ge |x|^p + p|x|^{p-2}xy + cp|y|^2 \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{t}{|x + sy|^{p-2} ds}dt}[/mm]
Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle [mm]p \ge 2[/mm] und [mm]p < 2[/mm]
c) Zeigen Sie, dass eine von x und y unabhängige positive Konstante [mm]c'[/mm] existiert, so dass gilt:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{t}{|x + sy|^{p-2} ds} dt} \ge c' (|x| + |x+y|)^{p-2}[/mm]
Hinweis: Unterscheiden Sie wieder die Fälle [mm]p \ge 2[/mm] und [mm]p < 2[/mm] und versuchen Sie im Fall [mm]p \ge 2[/mm] die Existenz der Konstanten indirekt zu zeigen. |
Ich muss nur die Aufgabe c) machen, habe aber alles angegeben, falls man die vorherigen Ergebnisse nutzen kann. Erstmal hab ich integriert:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{t}{|x + sy|^{p-2}ds}dt} =
\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{|y|(p-1)} [|x + ty|^{p-1} - |x|^{p-1}] dt} =
\bruch{1}{|y|^2(p-1)p} |x + y|^p - \bruch{1}{|y|(p-1)}|x|^(p-1) - \bruch{1}{|y|^2(p-1)p}|x |^p
\ge \bruch{c}{|y|^2} (|x + y|^p - |x|^p)
\ge c (\bruch{|x + y|^p}{|x + y|^2 -|x|^2} - \bruch{|x|^p}{|x + y|^2 -|x|^2})
= c (\bruch{|x + y|^p - |x|^p}{|x + y|^2 -|x|^2})
[/mm]
Ähm ja, jetzt noch das p und die 2 aus der Klammer ziehen, aus dem Minus ein Plus und fertig. Also kurz ich komm nicht weiter, weiß nichtmal ob die Abschätzungen bis dahin richtig und zielführend sind, hoffe mir kann jemand weiterhelfen? ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Di 29.05.2007 | | Autor: | Dhana |
Ich hab mir die Aufgabe nochmal angeschaut, b) und c) benötigt man noch für Teilaufgabe d), die ich weggelassen habe, also wird c) wohl unabhängig von a) und b) funktionieren, wenn ich nur wüßte wie :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Do 31.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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