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| Aufgabe | Bestimmen Sie das folgende Integral:
[mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{x^{2}+3x+2}{x^{3}+3x^{2}+2x} dx}[/mm] |
Moin :)
also als erstes hab ich die Nullstellen bestimmt:
[mm]x_{1}=0[/mm]
[mm]x_{2}=-1[/mm]
[mm]x_{3}=-2[/mm]
danach der Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
[mm]\bruch{x^{2}+3x+2}{x(x+1)(x+2)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{(x+1)}+\bruch{C}{(x+2)}[/mm]
Tja mein Problem liegt jetzt darin die Konstanten A,B und C zu bestimmen.
Mfg markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 16.09.2007 | | Autor: | koepper |
moin, moin, Marcus
da gibt es mehrere Varianten. Die "klassische" geht so:
1. erweitere jeden der 3 Brüche mit den Nennern der jeweils anderen
2. bringe die Summe so auf einen gemeinsamen Bruch
3. Löse alle Klammern im Zähler dieses Bruches auf
4. Ermittle A, B und C durch Koeffizientenvergleich
Das ist aber offensichtlich etwas aufwendig. Einfacher gehts mit geschicktem Einsetzen:
1. Multipliziere auf beiden Seiten mit $x$ und setze danach $x=0.$ Es folgt $A = 1.$
2. Multipliziere auf beiden Seiten mit $x - 1$ und setze danach $x = 1.$ Es folgt $B = 0.$
3. Multipliziere .... das schaffst du dann selbst...
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Also bei C komme ich auch auf [mm]C=0[/mm].
Hoffe das ist so richtig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 16.09.2007 | | Autor: | Woltan |
Hey ragsupporter,
wenn der Bruch richtig ist, den du da hast, dann ist das Integral eigenlich gar nicht so schwer. Du musst ja nur aus dem Nenner ein x ausmultiplizieren und schon kannst du den rest kuerzen.
Also aus:
[mm]
\frac{x^2+3x+2}{x^3+3x^2+2x}=\frac{1}{x}\frac{x^2+3x+2}{x^2+3x+2}=\frac{1}{x}
[/mm]
Und wie man davon das Integral zieht, ist ja in jeder Formelsammlung nachzuschlagen.
Kann natuerlich sein, dass das gar nicht deine Aufgabe war. Ich dachte nur ich poste mal was zur Abwechslung. Ach ja das wuerde natuerlich auch bedeuten , dass bei der Partialbruchzerlegung, A = 1, B = C = 0 ist.
Cherio Woltan
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Danke...das ist dann quasi die Bestätigung. =D
mfg Markus
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