Partielle Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto y^3(cos(\pi [/mm] x)+ [mm] x^2 [/mm] y).
a) Zeigen Sie, dass f partiell differenzierbar ist und bestimmen Sie die partiellen Ableitungen.
b) Warum ist f total differenzierbar? Geben Sie die totale Ableitung im Punkt (x,y) an-
c) Welche Gestalt hat die Tangentialebene an den Graphen von f in (-1,1)?
d) Berechnen Sie zu [mm] \vec{v}=(\bruch{1}{\wurzel{2}},-\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial \vec{v}}(-1,1)! [/mm] |
Also ich habe zu a) schon folgendes ausgerechnet: [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=y^3(-\pi sin(\pi [/mm] x)+2xy) Müsste richtig sein...aber wie berechnet man denn jetzt [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}? [/mm] Mit der Produktregel? Was muss man denn dann als u und v wählen?
Danke schon mal im Voraus.
Gruß David
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> Gegeben ist die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto y^3(cos(\pi\ x+x^2 y)[/mm] .
> a) Zeigen Sie, dass f partiell differenzierbar ist und
> bestimmen Sie die partiellen Ableitungen.
> b) Warum ist f total differenzierbar? Geben Sie die totale
> Ableitung im Punkt (x,y) an-
> c) Welche Gestalt hat die Tangentialebene an den Graphen
> von f in (-1,1)?
> d) Berechnen Sie zu
> [mm]\vec{v}=(\bruch{1}{\wurzel{2}},-\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] die
> Richtungsableitung [mm]\bruch{\partial f}{\partial \vec{v}}(-1,1)![/mm]
>
> Also ich habe zu a) schon folgendes ausgerechnet:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=y^3(-\pi sin(\pi[/mm] x)+2xy) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Müsste richtig sein...aber wie berechnet man denn jetzt
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}?[/mm]
> Mit der Produktregel?
Klar.
> Was muss man denn dann als u und v wählen?
die beiden offensichtlichen Faktoren
(oder wenn du magst, kannst du zuerst ausmultiplizieren
und dann die Ableitungsregeln anwenden)
> Danke schon mal im Voraus.
> Gruß David
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 07.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ok dann hab ich nach y abgeleitet folgendes raus: [mm] y^2(3cos(\pi x)+y+4x^2*y). [/mm] Damit ist f partiell diff'bar richtig?:)
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Hi,
> Ok dann hab ich nach y abgeleitet folgendes raus:
> [mm]y^2(3cos(\pi x)+y+4x^2*y).[/mm]
Bis auf den mittleren Summanden 'y' in der Klammer stimmt das.
> Damit ist f partiell diff'bar richtig?:)
Ich bin mir nicht absolut sicher, ob es dafür reicht, die partiellen Ableitungen anzugeben.
Sicher ist, aus der Existenz aller partiellen Ableitungen folgt später, dass die Funktion diffbar ist.
Allerdings würde ich zur Begründung der partiellen Diffbarkeit schon heranziehen, dass die entsprechenden "partiellen" Funktionen in nur einer Variablen mit der anderen als Konstante, diffbar sind (Komposition aus diffbaren Funktionen).
Gruß
PS (EDIT): Siehe freds Bemerkung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sicher ist, aus der Existenz aller partiellen Ableitungen
> folgt später, dass die Funktion diffbar ist.
Das stimmt aber überhaupt nicht !!
Sei
[mm] $f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2}$ [/mm] für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und f(0,0):= 0
f besitzt in jedem Punkt des [mm] \IR^2 [/mm] partielle Ableitungen, ist aber in (0,0) nicht mal stetig !
FRED
> Allerdings würde ich zur Begründung der partiellen
> Diffbarkeit schon heranziehen, dass die entsprechenden
> "partiellen" Funktionen in nur einer Variablen mit der
> anderen als Konstante, diffbar sind (Komposition aus
> diffbaren Funktionen).
>
>
> Gruß
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> > Sicher ist, aus der Existenz aller partiellen Ableitungen
> > folgt später, dass die Funktion diffbar ist.
>
> Das stimmt aber überhaupt nicht !!
>
> Sei [mm]f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und f(0,0):= 0
>
> f besitzt in jedem Punkt des [mm]\IR^2[/mm] partielle Ableitungen,
> ist aber in (0,0) nicht mal stetig !
>
> FRED
Dazu ein ![[]](/images/popup.gif) Plot
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Hallo fred,
> > Sicher ist, aus der Existenz aller partiellen Ableitungen
> > folgt später, dass die Funktion diffbar ist.
>
>
> Das stimmt aber überhaupt nicht !!
>
> Sei
>
> [mm]f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und
> f(0,0):= 0
>
>
> f besitzt in jedem Punkt des [mm]\IR^2[/mm] partielle Ableitungen,
> ist aber in (0,0) nicht mal stetig !
OK -
jetzt habe ich allerdings selbst eine Verständnisfrage:
Hier steht relativ weit oben:
"Die Funktion f heißt in [mm] E\subseteq [/mm] D(f) differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen [mm] x_k [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] E existieren."
Nimmt man hier [mm] E=\IR^2\subseteq D(f)=\IR^2, [/mm] so existieren wie du sagst die partiellen Ableitungen in jedem Punkt und nach Aussage wäre die Funktion f damit differenzierbar. Entweder ich verstehe hier jetzt etwas falsch, oder der Satz stimmt nicht. Würde mich über Aufklärung sehr freuen!
Danke.
>
> FRED
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Di 08.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
> > > Sicher ist, aus der Existenz aller partiellen
> Ableitungen
> > > folgt später, dass die Funktion diffbar ist.
> >
> >
> > Das stimmt aber überhaupt nicht !!
> >
> > Sei
> >
> > [mm]f(x,y):=\bruch{xy}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) und
> > f(0,0):= 0
> >
> >
> > f besitzt in jedem Punkt des [mm]\IR^2[/mm] partielle Ableitungen,
> > ist aber in (0,0) nicht mal stetig !
> OK -
> jetzt habe ich allerdings selbst eine Verständnisfrage:
> Hier
> steht relativ weit oben:
> "Die Funktion f heißt in [mm]E\subseteq[/mm] D(f) differenzierbar,
> wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen [mm]x_k[/mm]
> für alle [mm]x\in[/mm] E existieren."
Hallo kamaleonti,
was oben steht ist schlicht und einfach grober Unsinn !
Schau Dir das mal an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit,
insbes. "Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen"
Gruß FRED
> Nimmt man hier [mm]E=\IR^2\subseteq D(f)=\IR^2,[/mm] so existieren
> wie du sagst die partiellen Ableitungen in jedem Punkt und
> nach Aussage wäre die Funktion f damit differenzierbar.
> Entweder ich verstehe hier jetzt etwas falsch, oder der
> Satz stimmt nicht. Würde mich über Aufklärung sehr
> freuen!
>
> Danke.
> >
> > FRED
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Di 08.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred,
> Hier
> > steht relativ weit oben:
>
>
>
> > "Die Funktion f heißt in [mm]E\subseteq[/mm] D(f) differenzierbar,
> > wenn die partiellen Ableitungen nach allen Variablen [mm]x_k[/mm]
> > für alle [mm]x\in[/mm] E existieren."
>
>
> Hallo kamaleonti,
>
> was oben steht ist schlicht und einfach grober Unsinn !
>
> Schau Dir das mal an:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit,
>
> insbes. "Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen"
Danke. Jetzt ist einiges mehr klar geworden.
>
> Gruß FRED
>
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lentio |
HAllo!
Ich schieb mich mal einfach hier rein ;).
Und zwar geht es um die Aufgabe d).
Ich hab sie durchprobiert und würde gern wissen, ob die Lösung okay ist.
grad [mm] f_{x}= \pmat{ -\pi y^{3}sin(\pi x) + 2xy^{4}\\ 3y^{2}cos(\pi x)+x^{2}4y^{3} }. [/mm] Also im Punkt : [mm] \pmat{ -2 \\ 1 }. [/mm] Und somit [mm] \pmat{ -2 \\ 1 }*\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{-\wurzel{2}} }=\bruch{-3}{\wurzel{2}}
[/mm]
mfg,
lentio
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Di 08.03.2011 | | Autor: | frozer |
> HAllo!
>
> Ich schieb mich mal einfach hier rein ;).
>
> Und zwar geht es um die Aufgabe d).
> Ich hab sie durchprobiert und würde gern wissen, ob die
> Lösung okay ist.
>
> grad [mm]f_{x}= \pmat{ -\pi y^{3}sin(\pi x) + 2xy^{4}\\ 3y^{2}cos(\pi x)+x^{2}4y^{3} }.[/mm]
> Also im Punkt : [mm]\pmat{ -2 \\ 1 }.[/mm] Und somit [mm]\pmat{ -2 \\ 1 }*\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{-\wurzel{2}} }=\bruch{-3}{\wurzel{2}}[/mm]
>
>
> mfg,
>
> lentio
Hi, wenn ich mich jetzt nicht vertan habe beim überlegen: nein :)
ich schreib d mal nochmal ab:
d) Berechnen Sie zu [mm]\vec{v} = \left( \bruch{1}{\wurzel{2}} , -\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)[/mm] die Richtungsableitung [mm]\bruch{\partial f}{\partial \vec{v}}(-1,1)[/mm]
so [mm]\partial f[/mm] hast du ja schon mit deinem Gradienten bestimmt.
so wie ich das jetzt sehe musst du den Gradienten an der Stelle [mm]\vec{v} = \left( \bruch{1}{\wurzel{2}} , -\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)[/mm] auswerten in richtung (-1,1)
um das zu bestimmen rechnest du folgendes:
[mm]grad_{\left( \bruch{1}{\wurzel{2}} , -\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)} f [/mm]*[mm]\left( -1,1 \right)^T[/mm]
wobei * das Skalarprodukt ist....
den gradienten hab ich auch so...
ergibt bei mir um oben genannten punkt:
grad [mm]f_{\left( \bruch{1}{\wurzel{2}} , -\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)}= [/mm][mm]\pmat{ -\pi (-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{3}sin(\pi \bruch{1}{\wurzel{2}}) + 2\bruch{1}{\wurzel{2}}(-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{4}\\
3(-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{2}cos(\pi \bruch{1}{\wurzel{2}})+(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{2}4(-\bruch{1}{\wurzel{2}})^{3} } \ldots[/mm]
irrtümer sind in diesem moment nicht ausgeschlossen ;)
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> so wie ich das jetzt sehe musst du den Gradienten an der
> Stelle [mm]\vec{v} = \left( \bruch{1}{\wurzel{2}} , -\bruch{1}{\wurzel{2}}\right)[/mm]
> auswerten in richtung (-1,1)
Wenn du das so siehst, siehst du es leider genau
verkehrt rum !
Siehe Originalaufgabe.
LG
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