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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:29 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Ich habe hier 2 Aufgaben, die ich nicht ganz nachvollziehen kann bzw. bei denen ich nicht weiter komme:
1. [mm] \integral [/mm] {cos²x dx}
= [mm] \integral [/mm] {cos x*cos x dx} u' = cos x, u = sin x, v = cos x, v' = -sin x
= sin x*cos x - [mm] \integral [/mm] {sin x*(-sin x) dx}
= sin x cos x + [mm] \integral [/mm] {sin²x dx}
= sin x cos x + [mm] \integral [/mm] {(1-cos²x) dx}
= sin x cos x + [mm] \integral [/mm] {1 dx} - [mm] \integral [/mm] {cos²x dx}
Nun wird [mm] \integral [/mm] {cos²x dx} mit der Substitutionsregel integriert:
=> 2I = [mm] 2\integral [/mm] {cos²x dx} = sin x cos x + x + C |:2
=> [mm] \integral [/mm] {cos²x dx} = 1/2 (sin x cos x + x) + C/2 = C' (Lösung)
Jetzt meine Frage: Wie wird hier die Substitutionsregel angewendet?
Mit meiner folgenden Rechnung komme ich nicht weiter:
[mm] \integral [/mm] {cos²x dx} = [mm] \integral [/mm] {cos x*cos x dx}
u = cos x
du = -sin x dx ???
2. [mm] \integral [/mm] {e^(-2x)*cos x dx}
Lösung: 1/5 e^(-2x)*(sin x - cos x)
Meine angefangene Rechnung: u' = cos x, u = sin x, v = e^(-2x), v' = -2e^(-2x)
= sin x*e^(-2x) - [mm] \integral [/mm] {sin x (-2e^(-2x)) dx}
= sin x*e^(-2x) - [mm] \integral [/mm] {-2 sin x e^(-2x) dx}
= sin x*e^(-2x) + [mm] 2\integral [/mm] {sin x e^(-2x) dx}
mit Substitutionsregel weiter integrieren?
setzen u = -2x, du = -2 dx => dx = -1/2 du
= sin x*e^(-2x) + [mm] 2\integral [/mm] {sin x e^(u)*(-1/2) du}
= sin x*e^(-2x) - [mm] \integral [/mm] {sin x e^(u) du} hier weiß ich nicht weiter
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Guten Morgen!
Also in der 1) ist das vielleicht etwas irreführend... denn substituiert wird nicht, einfach aufgelöst.
Nach partieller Integration erhielt man ja:
[mm] $\int_a^b cos^2(x) [/mm] dx = sin(b) [mm] \cdot [/mm] cos(b) - sin(a) [mm] \cdot [/mm] cos(a) + [mm] \int_a^b [/mm] 1 dx - [mm] \int_a^b cos^2(x) [/mm] dx$
Das zu bestimmende Integral steht aber rechts noch einmal - addiert man das (und nennt es $I$), so ergibt sich die Behauptung: eine Stammfunktion von [mm] $cos^2(x)$ [/mm] hat sie Form:
$sin(x) [mm] \cdot [/mm] cos(x) + x + C$
Alles klar? :)
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Sa 05.02.2005 | | Autor: | moudi |
> 2. [mm]\integral[/mm] {e^(-2x)*cos x dx}
>
> Lösung: 1/5 e^(-2x)*(sin x - cos x)
Fehler, richtig wäre [mm] $\frac15 e^{-2x}(\sin [/mm] x - [mm] 2\cos [/mm] x)$
>
> Meine angefangene Rechnung: u' = cos x, u = sin x, v =
> e^(-2x), v' = -2e^(-2x)
>
> = sin x*e^(-2x) - [mm]\integral[/mm] {sin x (-2e^(-2x)) dx}
>
> = sin x*e^(-2x) - [mm]\integral[/mm] {-2 sin x e^(-2x) dx}
>
> = sin x*e^(-2x) + [mm]2\integral[/mm] {sin x e^(-2x) dx}
>
> mit Substitutionsregel weiter integrieren?
Nein. Nochmals partiell Integrieren.
[mm] $u'=\sin(x)$, $v=e^{-2x}$.
[/mm]
Dann bekommst du wieder dein Ursprüngliches Integral, aber mit anderen "Koeffizienten".
(selber ausprobieren)
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 05.02.2005 | | Autor: | katole |
cos²(x)+sin²(x)=1
[mm] \Rightarrow \integral [/mm] {sin²(x) dx} = [mm] \integral [/mm] {(1-cos²(x)) dx}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 So 06.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Danke an alle, die mich darauf aufmerksam gemacht haben, dass das größtenteils ein "Hinsehfehler" war! :)
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