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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 21.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Bilden Sie die Stammfunktion:
[mm] I=e^{x}*sin(x)dx [/mm] |
Guten Morgen,
mal wieder bin ich ratlos
1.Partielle Integration
[mm] I=e^{x}*sin(x)dx
[/mm]
[mm] u=e^{x}
[/mm]
[mm] u'=e^{x}
[/mm]
v'=sin(x)
v=-cos(x)
[mm] ...=e^{x}*(-cos(x))-\integral e^{x}*(-cos(x))dx
[/mm]
2.Partielle Integration
[mm] u=e^{x}
[/mm]
[mm] u'=e^{x}
[/mm]
v'=-cos(x)
v=-sin(x)
So, jetzt sehe ich ja schon, dass das Vorzeichen vor dem Integral positiv wird und das sollte eigentlich nicht der Fall sein. Habe ich einen Fehler gemacht? Oder ist es einfach so, dass es mit dieser und u und v' Konstellation nicht klappt und ich mein u und v' ändern muss?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Bilden Sie die Stammfunktion:
>
> [mm]I=e^{x}*sin(x)dx[/mm]
> Guten Morgen,
>
> mal wieder bin ich ratlos
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> 1.Partielle Integration
>
> [mm]I=e^{x}*sin(x)dx[/mm]
>
> [mm]u=e^{x}[/mm]
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> [mm]u'=e^{x}[/mm]
>
> v'=sin(x)
>
> v=-cos(x)
>
> [mm]...=e^{x}*(-cos(x))-\integral e^{x}*(-cos(x))dx[/mm]
>
> 2.Partielle Integration
>
> [mm]u=e^{x}[/mm]
>
> [mm]u'=e^{x}[/mm]
>
> v'=-cos(x)
>
> v=-sin(x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So, jetzt sehe ich ja schon, dass das Vorzeichen vor dem
> Integral positiv wird ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> und das sollte eigentlich nicht der
> Fall sein.
Eben
> Habe ich einen Fehler gemacht?
Ja, Minusklammer übersehen!
> Oder ist es
> einfach so, dass es mit dieser und u und v' Konstellation
> nicht klappt und ich mein u und v' ändern muss?
Nein, alles bestens, du musst die Minusklammer beachten!
[mm]\int{e^x\cdot{}\sin(x) \ dx}=e^x\cdot{}(-\cos(x))-\int{e^x\cdot{}(-\cos(x)) \ dx}=e^x\cdot{}(-\cos(x))-\red{\left[e^x\cdot{}(-\sin(x))-\int{e^x\cdot{}(-\sin(x)) \ dx}\right]}[/mm]
Da stehen also drei Minuszeichen im Dunstkreis des Integrals, das Integral hat also neg. Vorzeichen.
Einfacher ist es übrigens, nach der ersten partiellen Integration die "Minüsse" im Integral zu verarzten zu [mm]-e^x\cdot{}\cos(x)+\int{e^x\cdot{}\cos(x) \ dx}[/mm] und dann erst ein weiteres Mal partiell zu integrieren. Dann kommt man nicht so schnell mit den Vorzeichen durcheinander ...
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Di 21.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Bilden Sie die Stammfunktion:
[mm] I=\integral e^{x}*sin(x)dx [/mm] |
Hallo zusammen,
nachdem Schachuzipus mir einige gute Tipps zu der Aufgabe gegeben hat, hier der neue Versuch.
[mm] I=\integral e^{x}*sin(x)dx
[/mm]
1.Partielle Integration:
[mm] u=e^{x}
[/mm]
[mm] u'=e^{x}
[/mm]
v'=sin(x)
v=-cos(x)
[mm] ...=e^{x}*(-cos(x))-\integral e^{x}*(-cos(x))dx
[/mm]
Hier könnte man schon das - im Integral eliminieren, aber tun mir mal so, als hätte ich es erneut übersehen.
2.Partielle Integration:
[mm] u=e^{x}
[/mm]
[mm] u'=e^{x}
[/mm]
v'=-cos(x)
v=-sin(x)
[mm] ...=e^{x}*(-cos(x))-\left[e^{x}*(-sin(x))-\integral e^{x}*(-sin(x))dx\right]
[/mm]
[mm] ...=e^{x}*(-cos(x))+e^{x}*(sin(x))-\underbrace{\integral e^{x}*(sin(x))dx}_{=I}
[/mm]
[mm] 2I=e^{x}*(-cos(x))+e^{x}*(sin(x))
[/mm]
[mm] I=\bruch{1}{2}(e^{x}*(-cos(x)))+\bruch{1}{2}(e^{x}*(sin(x)))
[/mm]
Was sagt Ihr dazu? Ist es richtig?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau!
Das sieht soweit gut aus. Wenn Du magst, kannst Du noch [mm] $\bruch{1}{2}*e^x$ [/mm] ausklammern.
Wenn es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, fehlt zwingend die Integrationskonstante $+C_$ .
Als Kontrolle könntest Du Dein Ergebnis auch wieder ableiten. Da müsste dann wieder die Ausgangsfunktion herauskommen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Di 21.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Danke für die guten Tipps und das "drüberschauen"!
Gruß
mbau16
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